定點數的表達方式

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無符號整數 Unsigned Integer

​ 設 $X$ 是一個 $N$ 位無符號二進制數，其範圍爲 $[0,2^N-1]$ ，表示方法如下：
$X=\displaystyle \sum^{N-1}_{n=0}x_n2^n$
​ 其中 $x_n$ 是 $X$ 的第 $N$ 位二進制數字（也就是 $x_n\in[0,1]$）。數字 $x_0$ 被稱作最低有效位（Least Significant Bit，LSB），具有相當於個位的權重。數字 $x_{n-1}$ 就是最高有效位（Most Significant Bit，MSB）。具有相當於 $2^{N-1}$ 的權重。

有符號數值 Signed-Magnitude，SM

​ $N$ 位有符號整數中的第一位（即MSB）代表符號，餘下的 $N-1$ 位代表數值。範圍爲 $[-(2^{N-1}-1),2^{N-1}-1]$.

• 優點：有助於防止溢出。
• 缺點：加法需要根據哪一個操作數更大分開運算。

二進制補碼 Two’s Complement，2C

​ 最爲流行的有符號數字系統，$N$ 位二進制補碼的表達範圍爲 $[-2^{N-1},2^{N-1}-1]$ ，溢出可以忽略

例如，計算 $3-2$ 的值時

不難看出這時溢出可以忽略。

​ 二進制補碼還可以用來實現模 $2^N$ 算法而不需要在算法中做任何改動（應用於設計CIC濾波器）.

二進制反碼 One’s Complement， 1C

​ $N$ 位二進制反碼錶達範圍爲 $[-(2^{N-1}+1),2^{N-1}-1]$ , $0$ 有正零和負零兩種冗餘的表達。

​ 如圖，二進制反碼在運算中需要“進位迴繞（carry wrap-around）”加法。但是其可以有效的實現模 $2^N-1$ 運算，而且不需要矯正，在實現特殊算法（如整數環上的Mersenne變換）時有特殊價值.

減一系統 Diminished one System，D1

​ 減一系統是一種有偏差的系統，正整數與二進制補碼相比減少了1。 $N-1$ 位 D1 數值的範圍是 $[-2^{N-1},2^{N-1}]$（不含0）. D1的編碼規則如下：
$X=\begin{cases} \displaystyle\sum^{N-2}_{n=0}x_n2^n+1& X\geq0\\ -2^{N-1}+\displaystyle\sum^{N-2}_{n=0}x_n2^n& X>0\\ 2^N& X=0 \end{cases}$

​ 爲方便理解，下表爲3位D1編碼的例子：

二進制數	D1
011	4
010	3
001	2
000	1
111	-1
110	-2
101	-3
100	-4
1000	0

下面是兩個D1數值相加運算的例子：

​

​ 從上面的例子看出 D1 必須計算補碼和反向進位的加法。D1數值不需要在算法上做出任何改動就能有效實現模 $2^N+1$ 運算（例如實現費爾馬Network Transfer Table，NTT）.

偏差系統 Bias System

​ 偏差系統對所有數都有一個偏差（bias），通常$bias=2^{N-1}-1$ ，$N$ 位偏差數的範圍是 $[-2^{N-1}-1,2^{N-1}]$，0 就被編碼爲 $bias$ 的值。定義如下：
$X=\displaystyle\sum^{N-1}_{n=0}x_n2^n-bias$

偏差系統加法實例：

​ 對於加法，每次運算都要減掉偏差，對於減法，每次運算都要加上偏差。偏差能夠簡化數值的比較，可以用於對浮點數指數的編碼中.

參考文獻：Digital Signal Processing with Field Programmable Gate Arrays --U.Meyer-Baese