Kick Start 2020 Round B - Bus Routes 詳解

比賽的時候做這道題的思路跟官方分析的第二種方法一樣，但是少考慮了可以取模來快速計算哪一天，導致大數據超時，好氣。

下面就來看題：

題目簡述

有 $N$ 個公交路線，必須按順序乘坐，一個人在第 $D$ 天必須坐完所有路線，也可以在第 $D$ 天之前完成。用例已確保能在第 $D$ 天完成。

第 $i$ 個公交路線每 $X_i$ 天運行一次，即只能在 $X_i$，$2X_i$，$3X_i$ 等等那些天乘坐。同一天可以乘坐多次公交。

但她想儘可能晚地乘坐第一班公交。求最晚從哪一天開始乘坐公交，仍然能在第 $D$ 天完成旅行。

樣例分析

N = 3
D = 10
X = [3 7 2]

有 3 條路線，需要在 10 天內完成。第一個公交每 3 天跑一次，所以可以是第 3、6、9 天乘坐第一班公交，但是第 9 天坐的話後面兩趟公交就完不成，所以可以從第 6 天開始。

第 7 天剛好是第二趟公交運行週期 7 的倍數，所以第 7 天乘坐第二趟公交。

第 8 天也剛好可以乘坐第 3 趟公交，所以旅行完成。

那麼最晚就可以從第 6 天開始。

解析

可以使用從後向前的方法，在 $O(n)$ 時間複雜度下解決問題。

使用 $B_i, i\in [1, N]$ 表示乘坐的是第 $i$ 趟公交。

使用 $D_i, i\in [1, N]$ 表示乘坐第 $i$ 趟公交的天數，由於最後一天及之前一定能完成，因此 $D_N$ 小於等於最大天數 $D$，且是 $X_N$ 的最大倍數。

又，爲了能夠在第 $D_N$ 天及時趕上最後的公交 $B_N$，那麼必須要在第 $D_{N-1}$ 天乘坐第 $B_{N-1}$ 趟公交。$D_{N-1}$ 可以小於等於 $D_N$ 且爲 $X_{N-1}$ 的最大倍數。

這樣倒着算到 $B_1$ 也就是第一趟公交時，$D_1$ 也就是要求的最晚出發的天數。

由於 $D_i$ 必須是 $X_i$ 的倍數，因此計算出的當前的 $D_i$ 可能不是 $X_i$ 的倍數，可以直接通過計算 $D_i - D_i mod X_i$ 得到可以整除的天數。

以一個例子來解釋這個分析：

N = 4 
D = 100
X = 11 10 5 50

現在從後向前，取第 100 天完成旅行，那麼後面三趟公交都可以被 100 整除，那麼可以在第 100 天乘坐這三趟公交。

接下來還剩第一趟公交，由於 100 不能整除 11，因此通過上面的公式來計算應該減多少天，100 mod 11 = 1，因此可以在第 99 天乘坐第一趟公交。這樣就得到了答案。

代碼

test_case = int(input().strip())

for t in range(1, test_case + 1):
    bus_num, day = list(map(int,input().strip().split()))
    route = list(map(int,input().strip().split()))

    bus_index = len(route) - 1

    while bus_index >= 0:                                 
        if day % route[bus_index] == 0:          # 計算是否可乘坐公交
            bus_index -= 1
        else:
            day = day - day % route[bus_index]   # 如果某天不能乘坐公交，直接將天數計算爲可乘坐公交的天數
        
    print("Case #{}: {}".format(t, day))