洛谷P1072 Hankson的趣味題題解--zhengjun

題面傳送門

吐槽一句，這麼水的題目能搞成藍色？？？

好了，進入正題：

思路

首先，列出式子：
$\left\{ \begin{aligned} \gcd(x,a_0)=a_1\\ lcm(x,b_0)=b_1 \end{aligned} \right.$

那麼，先來看第一個式子：

$\gcd(x,a_0)=a_1$，設$k_0=x\div a_1,k_1=a_0\div a_1$

可以很快得出，$\gcd(k_0,k_1)=1$

證明：

如果$\gcd(k_0,k_1)=t,t>1$，設$k_0=t\times w_0,k_1=t\times w_1$

所以$\left\{ \begin{aligned} x=t\times w_0\times a_1\\ a_0=t\times w_1\times a_1 \end{aligned} \right.$
那麼$\gcd(x,a_0)=a_1\times t$了，所以$t$定爲$1$

然後，再看第二個式子：

$lcm(x,b_0)=b_1$，設$k_0=b_1\div x,k_2=b_1\div b_0$，同樣可以得出$\gcd(k_0,k_1)=1$

證明：

若$\gcd(k_0,k_1)=t,t>1$，設$k_0=t\times w_0,k_1=t\times w_1$

則$\left\{ \begin{aligned} x=\dfrac{b_1}{t\times w_0}\\ b_0=\dfrac{b_1}{t\times w_1} \end{aligned} \right.$
那麼，$\gcd(x,b_0)=t\times w_0\times w_1$，所以，$t$定爲$1$

所以，爲了滿足那個式子，就要$\left\{ \begin{aligned} \gcd(x\div a_1,a_0\div a_1)=1\\ \gcd(b_1\div x,b1\div b_0)=1 \end{aligned} \right.$
所以，$x$就是$b_1$的因數，只要從$1$到$\sqrt{b_1}$，枚舉，然後看看符不符合，這裏還有一個潛在的條件，題目中給了我們：輸入數據保證 $a_0$ 能被 $a_1$ 整除，$b_1$ 能被 $b_0$ 整除，所以後面的$a_0\div a_1$和$b_1\div b_0$一定是整數，不用管，就要看看$x\div a_1$和$b_1\div x$是否爲整數就可以了。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a0,a1,b0,b1;
int gcd(int x,int y){
	return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	while(n--){
		scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
		int ans=0;
		for(int i=1;i*i<=b1;i++){
			if(b1%i==0){
				if(i%a1==0&&gcd(i/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/i,b1/b0)==1)ans++;
				if(i!=b1/i&&b1/i%a1==0&&gcd(b1/i/a1,a0/a1)==1&&gcd(b1/(b1/i),b1/b0)==1)ans++;
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

謝謝–zhengjun