DP - 區間DP(求具體方案) - NOIP 2003 - 加分二叉樹

DP - 區間DP - NOIP 2003 - 加分二叉樹

設一個n個節點的二叉樹tree的中序遍歷爲（1,2,3,…,n），其中數字1,2,3,…,n爲節點編號。

每個節點都有一個分數（均爲正整數），記第i個節點的分數爲di，tree及它的每個子樹都有一個加分，任一棵子樹subtree（也包含tree本身）的加分計算方法如下：

subtree的左子樹的加分 × subtree的右子樹的加分 ＋ subtree的根的分數

若某個子樹爲空，規定其加分爲1。葉子的加分就是葉節點本身的分數，不考慮它的空子樹。

試求一棵符合中序遍歷爲（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉樹tree。

要求輸出：

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍歷

輸入格式
第1行：一個整數n，爲節點個數。

第2行：n個用空格隔開的整數，爲每個節點的分數（0<分數<100）。

輸出格式
第1行：一個整數，爲最高加分（結果不會超過4,000,000,000）。

第2行：n個用空格隔開的整數，爲該樹的前序遍歷。如果存在多種方案，則輸出字典序最小的方案。

數據範圍
n<30

輸入樣例：
5
5 7 1 2 10
輸出樣例：
145
3 1 2 4 5

---

分析：

$二叉樹的左右子樹的收益的計算是相互獨立的，因此可以考慮區間DP。$

$由於劃分爲左右子樹來計算收益，因此可以枚舉根節點爲分界點。$

$狀態表示：f[i][j]:區間[i,j]內的元素構成的二叉樹獲得的最大收益。$

$狀態計算：\\區間[l,r]，根節點爲k：f[l][r]=max(f[l][k-1]×f[k+1][r]+w[k]，k∈[l,r]。$

$本題需要記錄具體方案，另開數組g存儲區間[l,r]的根節點k，即g[l][r]=k。$

注意：

$當根節點爲區間端點時(k=l或k=r)，僅存在一顆子樹，此時將另一顆子樹賦值爲1再計算。$

$另外，前序遍歷可以採用遞歸輸出。順序爲根->左->右。$

代碼：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=35;

int n,w[N],f[N][N],g[N][N];

void pre(int l,int r)
{
    if(l>r) return ;
    int root = g[l][r];
    cout<<root<<' ';
    pre(l,root-1);
    pre(root+1,r);
    
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    
    for(int len=1;len<=n;len++)
        for(int l=1;l+len-1<=n;l++)
        {
            int r=l+len-1;
            if(len==1)
            {
                f[l][r]=w[l];
                g[l][r]=l;
            }
            else
            {
                for(int k=l;k<=r;k++)
                {
                    int left = k==l ? 1 : f[l][k-1];
                    int right = k==r ? 1 : f[k+1][r];
                    int score=left*right+w[k];
                    if(f[l][r]<score)
                    {
                        f[l][r]=score;
                        g[l][r]=k;
                    }
                }
            }
        }
        
    cout<<f[1][n]<<endl;
    pre(1,n);
    
    return 0;
}