DP - 狀壓DP - SGU - 223 - Little Kings

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在 n×n 的棋盤上放 k 個國王，國王可攻擊相鄰的 8 個格子，求使它們無法互相攻擊的方案總數。

輸入格式
共一行，包含兩個整數 n 和 k。

輸出格式
共一行，表示方案總數，若不能夠放置則輸出0。

數據範圍
1≤n≤10,
0≤k≤n²

輸入樣例：
3 2
輸出樣例：
16

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分析：

$本題與——$《蒙德里安的夢想》$相似，只是擺放的物品佔據的範圍不同。$

$經過分析，容易發現：由於每個國王僅佔據相鄰的八個方格，故每一行擺放的方案僅與上一行的狀態有關。$

$那麼我們可以通過一個二進制數s來表示第i行的狀態，1表示該位置放一個國王，0表示不放。\\由於國王的數量有限制，因此我們的狀態表示需要三維。$

$狀態表示，f[i][j][s]：已經擺放了前i行，且用了j個物品，且第i行的狀態是s的總方案數。$

$狀態計算：\\假設第i行的狀態是a，第i-1行的狀態是b，若a能夠由b轉移而來，需要滿足：\\①、第i-1行本身是合法的：二進制數b不能存在連續的1。$

$②、狀態a和狀態b不能存在衝突：\\\qquadⅠ、第i行放國王的位置的正上方不能有國王，需滿足a\&b=0。$

$\qquadⅡ、第i行放國王的位置的斜上方不能有國王，需滿足a|b表示的二進制數不能有連續的1。\\\qquad這一條件同時也避免了第i行出現連續的1。$

$\qquad若滿足以上兩個條件，轉移方程：f[i][j][a]+=f[i-1][j-count(a)][b]，\\\qquad其中count(a)表示狀態a中1的個數，即第i行擺放國王的數量。$

具體落實：

$①、先預處理每一行的所有合法狀態(不能含有連續的1)，同時記錄下這些狀態當中1的個數(狀態轉移的時候要用)。$

$②、將所有互不影響的狀態預處理出來，用head數組做一個映射。$

$③、計算每個狀態的方案總數。$

注意：

$①、初始化邊界。對每一層而言，擺放的國王數量爲0時也是一種合法方案，因此國王數量j從0開始循環。$

$②、最後要輸出第n層的方案總數之和，即\sum f[n][m][s]，\\\qquad我們可以在計算時算到n+1層，最後輸出f[n+1][m][0]，這是等價的。\\\qquad 因爲狀態爲0可由前一層的所有合法狀態轉移而來，相當於在計算方案數的過程中就做了一遍求和。$
代碼：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

#define ll long long

using namespace std;

const int N=12,M=1<<10,K=110;

int n,m;
ll f[N][K][M];
int cnt[M];
vector<int> state;
vector<int> head[M];

bool check(int x)
{
    for(int i=0;i<n-1;i++)
        if((x>>i)&1 && (x>>i+1)&1)
            return false;
    return true;
}

int Count(int x)
{
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++) res+=(x>>i)&1;
    return res;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=0;i<1<<n;i++)
        if(check(i))
        {
            state.push_back(i);
            cnt[i]=Count(i);
        }
    
    int len=state.size();
    for(int i=0;i<len;i++)
        for(int j=0;j<len;j++)
        {
            int a=state[i],b=state[j];
            if((a&b)==0 && check(a|b))
                head[i].push_back(j);
        }
    
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int a=0;a<len;a++)
                for(int b:head[a])
                {
                    int c=cnt[state[a]];
                    if(j>=c) f[i][j][state[a]]+=f[i-1][j-c][state[b]];
                }
            
    cout<<f[n+1][m][0]<<endl;
    
    return 0;
}

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