矩陣相乘---動態規劃第一課

問題：給定n個矩陣｛A1,A2,…,An｝，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1 ,…,n-1。如何確定計算矩陣連乘積的次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。

#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dp[MAXN][MAXN]; // dp[i][j]表示矩陣Ai到Aj乘積的最少運算數
int idx[MAXN][MAXN]; // idx[i][j]表示矩陣Ai到Aj的劃分位置
int a[MAXN]; // a[i]表示第i個矩陣的列數，a[i-1]表示第i個矩陣的行數
// 打印劃分矩陣
int cnt = 1; // 劃分次數
int pre[MAXN]; // 劃分後，第i個矩陣的左括號數
int suf[MAXN]; // 劃分後，第i個矩陣的右括號數
void divideMatrix(int i, int j)
{
    if (i == j) return;
    //i - j劃分爲 i - k, k + 1 - j;
    divideMatrix(i, idx[i][j]);
    divideMatrix(idx[i][j]+1, j);
    printf("第%d次計算爲： (%d %d) - (%d %d)\n", cnt++, i, idx[i][j], idx[i][j]+1, j);
    pre[i]++;
    suf[j]++;
}

int main()
{
    int n;
    printf("請輸入運算有多少個矩陣的乘積：\n");
    scanf("%d", &n);

    printf("請輸入n+1個數代表矩陣的行列數：\n");
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }

    // 初始化
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        dp[i][i] = 0; 
    }
    // 從2個矩陣運算到n個矩陣
    for (int r = 2; r <= n; ++r)
    {
        // 從第i個矩陣開始計算r個矩陣 到 第n-r+1個矩陣開始計算r個矩陣
        for (int i = 1; i <= n - r + 1; ++i)
        {
            int j = i + r - 1;// 此時計算矩陣的最後一個矩陣，構成了Ai - Aj的矩陣序列
            dp[i][j] = INF;// 初始化爲最大計算數
            idx[i][j] = i;

            for (int k = i; k < j; ++k)// 在i-j中尋找劃分
            {
                int tmp = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + a[i-1] * a[k] * a[j];
                if (tmp < dp[i][j]) // 遇到較小值更新
                {
                    dp[i][j] = tmp;
                    idx[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
    printf("矩陣乘積最小運算數是：%d\n\n", dp[1][n]);


    printf("矩陣進行以下運算：\n");
    divideMatrix(1, 6);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= pre[i]; ++j)
        {
            printf("(");
        }
        printf("%d", i);
        for (int j = 1; j <= suf[i]; ++j)
        {
            printf(")");
        }
    }
}