二分的一些記錄

舉個例子，對於最大值最小的問題，二分求這個最小的最大值 $ans$

這是一個題解的二分寫法，我發現好像大家都是這麼寫二分的 P3853 絕_塵的題解

 while(l<=r) {
        int mid=(l+r)>>1, k=0;
       	/*sentence code*/
       	
        if(k>t){
        	l=mid+1;
       	}
        else{
        	r=mid-1;
        	ans=mid;
        }
    }
    printf("%d",ans);
    
    return 0；

本問題的二分的過程大約可以這麼形象的描述，對於遞增數列：

$\{$$a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ …, $a_{i}$, $ans$, $a_{j}$, … $a_{n}$$\}$

$ans$ 及其以後的數值全部都符合題意，但是要求其中最小的值，也就是 $ans$
對於此題，mid越大，k越小。使得 $k\leq t$ 成立的mid是符合題意的。
而且要注意：即使 $k==t$， 此時的mid也不一定就是ans

在這個代碼當中

• 當 $k>t$ 時，就相當於當前的 $mid$ 處於區間 $[1, i]$
• 當 $k\leq t$ 時，就相當於當前的 $mid$ 處於區間 $[j-1, n]$， 也包含了最終結果 $ans$

那麼就有個很顯然的問題：當mid恰好爲ans的時候，若 $k\leq t$ ，那麼右邊界 r 將到達 $ans$ 的左側

此時會發生什麼？我們可以看到此while循環只有一個出口：$l>r$, 那麼此時只要能跳出循環，就能輸出正確答案 $ans$，否則不可能輸出正確答案 $ans$

那麼什麼情況下, 本循環後能跳出呢？這裏注意兩點：

1. $r == l$， 則下一步跳出
2. 如果此後得到的mid再也無法符合題意，則ans的值將不變，隨着 l 和 r 的緊縮，最終將到達1的情況，並跳出循環

不得不說，這個ans的設置相當巧妙，我tm以前怎麼沒發現這種寫法

完

當然，這裏是一定能找到結果的二分，還有的二分是可能查不到結果的，等下再寫。