數據結構之堆（我猜，關於堆的這些維護細節，你肯定不清楚，不信你來看！）

  在前面分析了二叉搜索樹、紅黑樹等衆多樹結構，今天博主給大家換個口味，深入分析一下堆的實現原理與維護規則。（堆其實與二叉樹有點相似）

一、堆的概述

1、什麼是堆

  堆，在日常生活中是一個量詞，比如：一堆木頭，下面這張圖就是一堆木頭，大家注意它的擺放規則，成金字塔型（上窄下寬）。

  數據結構中的堆，與上面的結構類似，不過藉助了二叉樹的結構。肯定會有小夥伴來一句，woc，這不就是二叉樹麼。。。其實你也可以暫時這麼理解，看完博客你就會發現還是有些區別。

2、堆的劃分

  根據堆中元素擺放順序的不同，可分爲兩種堆結構，小頂堆、大頂堆。

小頂堆：對於堆中的任意節點A，如果它存在子節點B、C，則 節點A的值 ≤ min{子節點B的值, 子節點C的值}

大頂堆：對於堆中的任意節點A，如果它存在子節點B、C，則 節點A的值 ≥ max{子節點B的值, 子節點C的值}

$\color{red}注意：$堆只對父節點的值與子節點的值有大小限定，但是對於節點的左、右子節點的值相對關係沒有限定（二叉搜索樹的特徵纔是 左子節點 < 父 < 右子節點）。

3、堆的作用

  講了半天，也畫了好幾張圖，辣麼堆有什麼作用呢？

  根據前面小頂堆、大頂堆的定義，我們知道小頂堆的堆頂存放的是堆中最小的元素，大頂堆的堆頂存放的堆中最大的元素。而這正是堆的作用，可能會有小夥伴一臉鄙夷，就這找最值的功能都要特意設計一個數據結構來實現？

  那來一道面試題，給你10億個數，如何在最短的時間裏找出最大的10個？ （我覺得如果沒做出這道題，辣麼只能說了解堆的定義，但是不理解、不會運用堆，邊看博客，邊思考吧，文末附答案）

二、堆的底層實現

  堆的實現一般使用數組，而不是二叉樹什麼的。從形態來看，堆不就是棵二叉樹麼，爲啥不用二叉樹而用數組呢？主要原因是爲了隨機訪問（通過下標訪問元素）。本篇博客將只討論使用數組實現的堆，如果你偏要用二叉樹，可以自己實現一個。

  以數組實現堆不僅帶來了隨機訪問（通過下標訪問元素），其實還有兩個很重要的規律。

1. 下標爲index的左、右孩子的下標分別是index * 2 + 1、(index + 1) * 2
2. 堆中有子節點的節點最大下標爲 size / 2 - 1(注意：size爲堆的大小，不是數組的大小)

三、堆的維護

  首先說明一下，堆一般對外展示的只有堆頂，也就是說堆的插入、移除，在外界看來都是在堆頂操作。（下面的維護都是基於小頂堆，大頂堆的維護操作是類似的。）

1、擴容

  如果數組沒有剩餘空位置，此時需要對數組進行擴容。由於基於數組實現的堆只有數組這個結構，堆只是通過數組下標在邏輯上存在，所以只要將數組中的元素按原來的順序複製到一個更長的數組即可。

2、插入元素（上浮）

  對於插入操作，我們首先將元素放到下一個空閒的位置，然後對插入的元素進行上浮操作。

插入元素上浮僞代碼如下：

// data是堆數組，size是堆的大小（並不是data數組的長度），element是待插入的節點
void insert(int data[], int &size, int element) {
	// 假設data有空位置插入，將待插入元素直接放到堆尾的下一個空位置
	int insertIndex = size++;
	data[insertIndex] = element;
	// 上浮插入節點
	while (insertIndex > 0) {
		// 求出父節點的下標（根據父節點下標能求出左右子節點下標，那麼根據子節點下標同樣也能求出父節點下標）
		int parentIndex = (insertIndex - 1) / 2;
		// 如果插入的元素大於父節點
		if (data[insertIndex] > data[parentIndex]) {
			// 上浮完畢
			break;
		}
		// 否則插入的元素小於父節點元素的值，交換
		swap(data[insertIndex], data[parentIndex]);
		// 更新插入元素的下標，繼續上浮
		insertIndex = parentIndex;
	}
}

3、刪除（堆頂）元素（下沉）

  插入元素是將尾端元素上浮，而刪除堆頂元素，是將堆尾元素放入堆頂，然後將該元素下沉。

刪除元素下沉僞代碼如下：

// data是堆數組，size是堆的大小（並不是data數組的長度）
void deleteTop(int data[], int &size) {
	if (size == 0) {
		// 堆爲空，無需進行刪除操作
		return;
	}
	// 將堆尾替換堆頂
	data[0] = data[--size];
	// 記錄需要下沉節點的下標，尋找最大的有子節點的下標（前說過這是一條規律）
	int index = 0, lastHaveChildIndex = size / 2 - 1;
	// 只要當data[index]存在子節點纔有下沉的必要
	while (index >= lastHaveChildIndex) {
		// 右子節點必定有左子節點（左子節點的公式： 父節點下標 * 2 + 1）
		// minChildIndex用於記錄左、右子節點更小的下標
		int minChildIndex = index * 2 + 1, rightChildIndex;
		if ((rightChildIndex = index * 2 + 2) < size && data[minChildIndex] > data[rightChildIndex]) {
			// 如果index存在右子節點，並且右子節點的值比左子節點的值小，更新minChildIndex
			minChildIndex = rightChildIndex;
		}
		// 如果下沉節點data[index]比左右子節點最小值都大，停止下沉
		if (data[index] >= data[minChildIndex]){
			break;
		}
		// 否則與左、右子節點較小則交換，並且更新index，繼續下沉
		swap(data[index], data[minChildIndex]);
		index = minChildIndex;
	}
}

四、總結

  堆中插入元素，直接放入數組的下一個空位置，然後上浮插入元素，即可完成堆的調整；刪除堆頂元素，將堆尾的元素替換堆頂，再對堆頂的元素進行下沉，即可完成堆的調整。（再次強調一下，基於數組實現的堆，只有數組這個結構，堆只是根據數組下標的依賴關係在邏輯上存在。如果你將堆的實現修改爲二叉樹，那麼堆纔是真正存在。）

  現在提下前面提出的面試題的答案，給你10億個數，如何在最短的時間裏找出最大的10個？
  我們只要構建一個大小爲10的小頂堆，前期取10個數直接插入堆中，然後對剩下的10億-10個數，每此取出一個都與堆頂（堆中最小值）比較，如果比堆頂大，則替換堆頂，接着調整堆（下沉堆頂元素即可），最終堆中的元素就是10億個數中最大的10個數。（如果答案都沒看懂，再看一遍博客吧，有點走馬觀花哦）