Visible Lattice Points （SPOJ-VLATTICE）（莫比烏斯反演）

Consider a N*N*N lattice. One corner is at (0,0,0) and the opposite one is at (N,N,N). How many lattice points are visible from corner at (0,0,0) ? A point X is visible from point Y iff no other lattice point lies on the segment joining X and Y.
 
Input :
The first line contains the number of test cases T. The next T lines contain an interger N
 
Output :
Output T lines, one corresponding to each test case.
 
Sample Input :
3
1
2
5
 
Sample Output :
7
19
175
 
Constraints :
T <= 50
1 <= N <= 1000000

題意：一個n*n*n的方格，從最左下角(0, 0, 0)最多可以看到多少個點？（不被遮擋）包括方格內部。

思路：這道題的話，我們先分析情況。假設能看到的點的座標爲則必須滿足：。當時是不成立的。

（1）當中有兩個爲0時,只有三種情況；

（2）當中有一個爲0時,相當於求的對數；

（3）當均大於0時，相當於求的對數。

結合以上三個情況，我們可以得出式子： 。

令

再記：

則F(x)爲

再有

據莫比烏斯反演

∴

同理

將兩個式子合併得到最終得到

由於還需要加上三條座標軸，所以：

思路上有一部分借鑑：https://blog.csdn.net/baiyifeifei/article/details/82954002

AC代碼：

#include <stdio.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
typedef long long ll;
const int maxx=1000010;
const int mod=10007;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-8;
using namespace std;
ll mu[maxx],prime[maxx];
bool vis[maxx];
ll cnt;
void get_mu()
{
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(mu,0,sizeof(mu));
    cnt=0;
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<=maxx; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0; j<cnt && i*prime[j]<=maxx; j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j])
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    get_mu();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        ll ans=3;
        for(ll i=1; i<=n; i++)
            ans+=mu[i]*(n/i)*(n/i)*(n/i+3);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}