題目描述：
設 <Z6,+6> 是一個羣，這裏 +6 是模 6 加法， Z6={0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ，試求出 <Z6,+6> 的所有子羣及其相應左陪集。
解答：
由於循環羣的子羣是循環羣,並且羣的階的每一個正因子存在唯一的子羣。
即子羣的階是6的正因子，6的正因子只有1,2,3,6,因此Z6共有4個子羣,
它們分別是一階子羣，2階子羣，3階子羣，6階子羣 =Z6（本身）。
子羣首先有兩個平凡子羣，即{[0]}，{Z6}。一個爲幺元，另一個爲羣本身。
然後考慮 [2] 生成的子羣: {[0],[2],[4]}
然後考慮 [3] 生成的子羣: {[0],[3]}
所以子羣<{[0]},+6>,<{[0],[3]}，+6>,<{[0],[2],[4],+6}>，<{Z6,},+6>
下面求出左陪集：
分別用{Z6}中的每一個元素+上下面的集合，即可得：
{[0]}的左陪集：{[0]},{[1]},{[2]},{[3]},{[4]},{[5]}.
{[0],[3]}的左陪集：{[0],[3]},{[1],[4]},{[2],[5]}.
{[0],[2],[4]}的左陪集：{[0],[2],[4]},{[1],[3],[5]}.
{[Z6]}的左陪集：{[0],[1],[2],[3],[4],[5]}.(Z6本身)
那麼，爲什麼<{[0],[1],[5]}>不是子羣？
根據子羣的定義，條件之一：任意兩元素的運算結果仍在子羣中，即封閉性。
那麼可以取兩個元素[1]，[1],模加6結果（1+1）%6=2，元素[2]並不在<{[0],[1],[5]}>中，同理驗證元素[5]。故其不是子羣。
下面時一些概念：
循環羣：若—個羣G的每—個元都是G的某—個固定元a的乘方，則稱G爲循環羣，記作G=(a)，a稱爲G的—個生成元。
代數系統：S是非空集合，f1, f2, f3…是這個集合上的運算，如果關於任意一個集合上的元素，經過這些運算後的結果還是在這個集合當中 (封閉性)，那麼稱<S, f1, f2…, fn>爲一個代數系統。 例如 <R, +, -, ×, ÷>
零元：給定代數系統<S, ●>，如果存在某個元素a在S中且其他任意屬於S的元素x與a（且a與x）進行●運算等於a，則a爲●的零元。 例如<R, ×>，任何實數與0相乘都爲0，所以0爲×的零元。
幺元：給定代數系統<S, ●>，如果存在某個元素e在S中且其他任意屬於S的元素x與e（且e與x）進行●運算等於x本身，則e爲●的幺元。 例如<R, *>，任何實數與1相乘都爲它本身，所以1爲×的幺元。
逆元：給定代數系統<S, ●>，如果存在某個元素x在S中，且另一個元素y也在S中，滿足x與y（且y與x）進行●運算等於●在S中的單位元e，則x與y互爲逆元。 例如<R, *>， x(x不爲0)與1/x便是互爲逆元。
半羣：給定代數系統<S, ●>, (● 是二元運算), 如果●的運算滿足結合律, 則該代數系統爲半羣。例如<R+, ×>, 對二元運算×滿足結合律。
獨異點：含有單位元的半羣。 例如<R, ×>, 對二元運算還有單位元1。
羣：獨異點的集合中所有元素都擁有逆元且逆元在該集合中，則稱該獨異點爲羣。也就是說一個普通的代數系統要成爲羣需要滿足下面幾個條件：
1.代數系統中只有一個二元運算。（代數系統具有封閉性）
2.該運算要滿足結合律。
3.該運算要有幺元。
4.集合每個元素都有逆元且逆元在集合中。 例如<C, +>, <R, +>, <Q, +>爲羣, 而<R, *>不再爲羣， 因爲0沒有逆元。
子羣：給定羣<G, ●>，若H是S的非空子集， 且H關於G中的運算構成羣<H, ●>, 則稱<H, ●>是<G, ●>的子羣。 例如<Z, +>便是<R, +>的子羣。同樣需要滿足封閉性、結合律、有幺元，每個元素有逆元。
求子羣時需要注意檢驗封閉性，即任意兩個元素的運算之和仍然在子羣中。
左陪集：如果存在一個羣<H, ●>是羣<G, ●>的子羣，且有一個元素a在G中，則把集合a●H = {a ● h | h在H中}稱爲由元素a所確定的羣<G, ●>中的H的左陪集，簡記爲aH，稱a是左陪集aH中的代表元素。右陪集同理。
舉例：
H的左陪集應該是對所有a屬於G，應該是使a*h結果相等的集合。
比如：H={[0],[2]}是<z4,+4>的子羣，H的左陪集爲[0]+H={[0],[2]} ; [1]+H={[1],[3]}; [2]+H={[2],[0]}; [3]+H={[1],[3]};
可以看出[0]+H={[0],[2]}與[2]+H={[2],[0]}相等，其中一個左陪集爲{[0],[2]};同理，另外一個左陪集爲{[1],[3]};
右陪集也一樣。
如有錯誤，還請指正~