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石墨筆記 PPT版
https://shimo.im/docs/TPjwqXqPr8PCRWdD
1 二部圖 偶圖 雙圖 二分圖 Ks,t G(V1,V2,E)
使用場景 選取部門分管人員,
完全二部圖:V1與V2中任一頂點有且僅有一條關聯
完全 二部圖Kst:定點數n=s+t,邊數m=k*s
充分必要條件:當且僅當G中無奇數長度的迴路
匹配:二部圖中的邊互不相鄰
極大匹配: E1∈E,E1中再加一條邊就不匹配了,E1是極大匹配
最大匹配:二部圖G中邊數最多的匹配稱爲G的最大匹配
完備匹配: V1<=V2,E1=V1,E1是V1到V2的完備匹配
完美匹配:完備匹配條件爲V1=V2時,雙射關係
霍爾(Hall)定理:V1中任意的k個結點至少與V2中的k個結點相鄰 ,相異性條件,算法複雜度爲2的n次冪,也是判定二分圖的充分必要條件
t條件(充分條件):
①V1中每個頂點至少關聯t條邊
②V2中每個頂點至多關聯t條邊
③則說明G中存在V1到V2的完備匹配
如何判斷二部圖:
1 先用充分條件t條件判斷,若滿足則爲二部圖
2 利用二部圖 無奇數長度迴路的特性判斷,若有則不是
3 1不能判斷出來再用相異性條件
2 歐拉圖
哥尼斯堡問題,一筆畫完問題
平凡圖是歐拉圖,平凡圖是隻有一個頂點的圖
歐拉通路是簡單通路(簡單圖不含平行邊也不含環的圖,所有邊不同的通路是簡單通路)
歐拉通路:G中經過每條邊一次並且僅有一次的通路
歐拉回路:G中每條邊只經過一次的迴路稱做歐拉回路
有歐拉通路,沒有歐拉回路的圖不是歐拉圖
無向歐拉回路,連通圖且無奇度頂點
無向歐拉通路,連通圖恰有兩個奇度頂點,在有兩個奇度頂點的連通圖中,每條歐拉通路都以這兩個奇度頂點爲端點. 例子:矩形加一條對角線
有向歐拉回路:連通且所以頂點入度＝出度
有向歐拉通路:連通且兩個奇度頂點,一個入度+1=出度,另一個出度+1=入度
若存在入度比出度大2,或出度比入度大2的頂點,肯定沒有歐拉通路,更不是歐拉圖
3 哈密頓圖
環遊世界問題,
哈密頓通路:G經過圖中每個頂點一次且僅一次的通路
哈密頓迴路:G經過圖中每個頂點一次且僅一次的迴路
哈密頓圖:存在哈密頓圖
哈密頓圖的特性:
1 一定是連通圖
2 是初級通路,初級迴路 (通路(迴路)中所有結點不同,邊也不同)
3 存在哈密頓迴路一定有哈密頓通路,反之不一定
哈密頓圖的必要條件:
P(G-V1) <= |V1| 減去V1個頂點的連通分支小於等於V1頂點的個數
推論:有割點的圖一定不是哈密頓圖
無向圖哈密頓塗的充分條件:
設G是n(n>=3)的無向簡單圖,對於G中一對不相鄰的頂點u,v均有
d(u)+d(v) >= n-1 則G中存在哈密頓通路, 又若
d(u)+d(v) >= n , 則G中存在哈密頓迴路
推論: G是n(n>=3)階無向簡單圖,如果任一頂點V>=n/2,則G是哈密頓圖
注意這是充分條件,不滿足充分條件任然可以是哈密頓圖,如 正六邊形
其他判定方法:
方法一 刪除高度數點,必要條件判定
方法二 反證法
方法3 AB標記法
有向圖中哈密頓通路怕你當:
n>=2階的有向圖中,如果略去所有方向,所得無向圖中含生成子圖Kn,則D中存在哈密頓圖
4 平面圖
平面圖:除頂點外沒有邊交叉的圖
包含面的迴路稱爲面的邊界
面r的邊界長度稱爲該面的次數:
平面圖所有面的次數之和等於其邊數的二倍
極大平面圖:任意不相鄰頂點加一條,所得圖爲非平面圖
極大平面圖的性質:
1 極大平面圖是連通的
2 n(n>=3)階平面圖是極大平面圖的充分必要條件是他的每個面的次數都爲3
歐拉公式
n-m+r = 2
n:節點數
m:面的次數,圍成面的邊數
r:面的個數
推論: n-m+r = k+1
G是具有k(k>=2)個連通分支的平面圖
m <=3n-6是平面圖的必要條件
不滿足m <=3n-6是非平面圖
m <= ((k-2)/k )*(n-2)是平面圖的必要條件
G是連通的平面圖,且每個面的次數至少爲K ,n是頂點數 ,m是邊數
注意:K不是度數,是面的次數
證明K5和K3,3都不是平面圖 (K5是五個頂點的完全圖)
K5 中 n=5,邊數 m=10,若K5是平面圖則每個面的次數至少大於等於3
10 <= 3/3-2 *(5-2)=9
這是個矛盾,因而K5不是平面圖
K3,3作爲偶圖,迴路的長度爲偶數,且長度>3,所以迴路長度至少爲4,m>=4
,n=6,m是邊數等於9
9 <= 4/4-2 *(6-2) = 8
矛盾,所有K3,3不是平面圖
庫拉圖斯基定理:
1 一個圖是平面圖當且僅當它不含與k5同胚的子圖,也不含與K3,3同胚的子圖
2 一個圖是平面圖當且僅當它沒有可以收縮到與k5同±胚的子圖,也沒有可以收縮到K3,3同胚的子圖