【學習計算機組成原理】浮點數的加減運算

現實中的科學計算法的加法運算

$0.123\times10^{5}+0.560\times10^{2}=?$
我們是怎麼算呢？

1. 通過移動小數點將它們的指數對齊
   $0.560\times10^{2}=0.00056\times10^{5}$
2. 兩個尾數相加
   $0.123+0.00056=0.12356$
3. 將結果四捨五入
   $0.12356\times10^{5}=0.124\times10^{5}$

機器內部

$設X_m，Y_m是X，Y的尾數，X_e，Y_e是X，Y的階碼。（X_e<Y_e）$

• 和將指數對齊意思一樣，有個名詞叫對階，因爲浮點數的指數用階碼錶示，對階就是讓階碼相同。
• 現實生活中，指數大的像小的看齊也行，小的像大的看齊也行。在機器中是小階像大階看齊。階小的數尾數右移，右移位數是兩個數的階碼差的絕對值。
• IEEE 754尾數右移時，要將不顯示錶示的1移到小數位，高位補0，低位移到附加位。

計算兩數階碼差

$\Delta e=Y_e-X_e$

$[\Delta E]_{補}=[E_x-E_y]_{補}=[E_x]_{移}-[E_y]_{移}=[E_x]_{移}+[-[E_y]_{移}]_{補}（mod 2^n）$ 公式參考

• 當$\Delta E$大於階碼所能表示的最大值時，即溢出時，則無法判斷階差。
• 在IEEE 754中，對於單精度，由於可以表示24位尾數，所以當$\Delta E$大於24時，則階數小的數視爲0，結果等於階數大的數。

對階

$將X_m右移\Delta e位。X_m→X_m\times2^{-\Delta e}，保留右移出的部分到附加位。$

尾數加減

$X_m\times2^{X_e-Y_e}±Y_m$

將結果規格化

1. 當尾數高位爲0需左歸：每左移一次，階碼減一，直到MSB（最高有效位）爲1。
2. 當尾數最高位有進位，需右歸：每右移一次，階碼加一，直到MSB爲1。
3. 每次階碼變化，都需要判斷階碼是否上溢或下溢。階碼上溢時異常處理，下溢時結果爲0。

判斷溢出

若運算結果的尾數（包含小數點前的一位）全爲0，則下溢。
若最終階碼全爲1，則上溢。

舍入

1. 就近舍入（默認）
   附加位：
   1. 值爲01時舍
   2. 值爲11時入
   3. 值位10時強制結果爲偶數
2. 往正無窮方向舍入
3. 往負無窮方向舍入
4. 往0方向舍入

還可以增加一個粘位，精度更高

尾數代表的實際值是0，則將階碼置0。（因爲浮點數表示0的格式原因）

附加位

IEEE 754規定：中間結果需在右邊加2個附加位。

1. 保護位：在有效數字位右邊的位
2. 舍入位：在保護位右邊的位

作用：保存對階時右移的位或運算的中間結果
處理：左歸時被移到有效數字位。作爲舍入的依據。

例子

求0.5-0.4375的值
腦補過程：
$(0.5)_{10}=(0.1)_2=1.000\times2^{-1}$
$(-0.4375)_{10}=(-0.0111)_2=-1.110\times2^{-2}$
$對階：-1.110\times2^{-2}=-0.111\times2^{-1}$
$相減：1.000\times2^{-1}-0.111\times2^{-1}=0.001\times2^{-1}$
$規格化：0.001\times2^{-1}=1.000\times2^{-4}$
$無溢出$
$結果是(0.0001)_2=(0.0625)_{10}$

在寄存器中：
-1用移碼錶示爲1111 1111+0111 1111=0111 1110
-2的移碼等於-1的移碼減1，所以值爲0111 1101
-2的變補碼爲1000 0011（兩階碼減法用）
+0.5可表示爲0 01111110 00000000000000000000000
-0.4375可表示爲1 01111101 11000000000000000000000
$\Delta e=0111 1110+1000 0011=00000001>0$

• 對-0.4375進行對階（3個附加位）
  右移1位得：1 01111110 11100000000000000000000 000（紅色是移動的位，左邊補隱藏位1）

• 尾數相加：001.00000000000000000000000 000+100.11100000000000000000000 000=000.00100000000000000000000 000
  （過程參考原碼加法）

  • 最高位是符號位，最後三位是附加位
  • 小數點前有兩位，爲了避免兩個1相加時產生的進位丟失。
  • 有1則需要顯示的表示出來，並放在小數點前一位。
  • 實際過程沒有小數點，這裏爲了表達清楚。

• 左歸：
  左移三次：000.00100000000000000000000 000→001.00000000000000000000000
  階碼減三次1：01111110→01111011

• 結果：0 01111011 00000000000000000000000