SLAM中的座標變換

​  在SLAM經常需要談論一件事情，就是座標系變換與座標變換，座標系變換和座標變換是不一樣的，要注意區分兩者的不同。在$n$維線性空間中，任意$n$個線性無關的向量都可取作它的基或座標系。但是對於不同的基或座標系，同一個向量的座標是不同的，下面討論當基改變時，向量的座標是如何變化的。

一、基變換

設$\pmb x_{1}$，$\pmb x_{2}$，…，$\pmb x_{n}$是舊基，$\pmb y_{1}$，$\pmb y_{2}$，…，$\pmb y_{n}$是新基，則根據基的定義可以知道

或者形式的寫成

其中矩陣$\pmb C$稱作由舊基到新基的過渡矩陣，過渡矩陣代表了座標系變換或者基變換，可以證明過渡矩陣是非奇異矩陣。

二、座標變換

​  當我們知道了座標系的變換之後就可以求解座標變換的問題了，假設一個向量$\pmb p$在舊基下的座標爲$(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n})^T$，在新基下的座標爲$(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})^T$，那麼有：
$\pmb p=\xi_{1}\pmb x_{1}+\xi_{2}\pmb x_{2}+...+\xi_{n}\pmb x_{n}=\eta_{1}\pmb y_{1}+\eta_{2}\pmb y_{2}+...+\eta_{n}\pmb y_{n}$
根據過渡矩陣，可以得到：
$(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})^T = C^{-1}(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n})^T$
上式即爲同一向量在不同座標系下的座標變換，可以看到座標變換矩陣是基變換矩陣的逆。

三、旋轉矩陣與平移向量

  在視覺SLAM中，相機運動屬於剛體運動，而剛體運動可以分解爲旋轉和平移。當定義好了相機座標系後，相機座標系的旋轉可以用旋轉矩陣來表示，平移可以用平移向量來表示，注意，這裏旋轉矩陣和平移向量一般在世界座標系下的表達。假設相機座標系1經過旋轉和平移變成了座標系2，將座標系1設爲世界座標系，旋轉矩陣爲$\pmb R$，平移向量爲$\pmb t$，某向量在座標系1中的座標爲$\pmb a=(a_{1},a_{2},a_{3})^T$，在座標系2中的座標系爲$\pmb b=(b_{1},b_{2},b_{3})^T$，則
$\pmb a=\pmb R\pmb b+\pmb t$
旋轉矩陣是正交陣，自然也是非奇異矩陣。上述座標是用非齊次座標來表示的，如果改成齊次座標：$\pmb a^{'}=(a_{1},a_{2},a_{3},1)^T$和$\pmb b^{'}=(b_{1},b_{2},b_{3},1)^T$
則上式可以寫成更簡單的表達方式：
$\pmb a^{'}=\pmb T\pmb b^{'}$
其中

$\pmb T$稱作變換矩陣(Transformation Matrix)，用於描述歐式變換。
那麼旋轉矩陣和基變換是什麼關係呢？答：旋轉矩陣就是基變換，但旋轉矩陣和平移向量構成的變換不是基變換。

四、位姿

​  位姿在視覺SLAM中是指每一幀對應的相機座標系相對於世界座標系(或初始幀相機座標系)的剛體運動：即旋轉矩陣和平移向量，故位姿是座標系的變換而非座標變換。有了每一幀的位姿，我們就可以得到相機的運動軌跡。