學習和計算時特別常用的三角公式

前言

無論搞硬件還是搞軟件，數學基礎，都很重要，沒有一定的數學基礎，不管學的語言再多、會的芯片型號再多，也只能算皮毛；做算法的需要數學理論作爲支撐，做芯片設計的也需要數理知識作爲支撐，總之，對於我們理工科的人，核心的東西還是數學基礎，比如三角函數的計算和變換在信號處理中就會經常碰到，有句話常說“代數煩、幾何難，三角公式記不完”，三角公式再多，其本質還是通過最基本的公式推導出來的，這裏給出常用的三角公式，希望可以幫到大家。

角度與弧度換算

$360°=2\pi \;\text{rad}$

$180°=\pi \;\text{rad}$

$1°=\frac{\pi}{180}\;\text{rad}\approx 0.01745\;\text{rad}$

$1\;\text{rad}=\frac{180°}{\pi}\approx 57.30°$

定義式

$\text{正弦：}\sin \alpha =\frac{a}{c}$

$\text{餘弦：}\cos \alpha =\frac{b}{c}$

$\text{正切：}\tan \alpha =\frac{a}{b}$

$\text{餘切：}\cot \alpha =\frac{b}{a}$

$\text{正割：}\sec \alpha =\frac{c}{b}$

$\text{餘割：}\csc \alpha =\frac{c}{a}$

$\text{倒數關係：———————}$

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha}$

$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha}$

$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha}$

正弦定理

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}=\frac{1}{2R}$

餘弦定理

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

誘導公式(七組)

• 奇變偶不變，符號看象限

$\underline{\begin{matrix} \sin \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\sin \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \cos \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\cos \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \tan \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\tan \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \cot \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\cot \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \sec \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\sec \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \csc \left( 2k\pi +\alpha \right) &=\csc \alpha& k\in \mathbb{Z}\\ \end{matrix}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( \pi +\alpha \right) &=-\sin \alpha\\ \cos \left( \pi +\alpha \right) &=-\cos \alpha\\ \tan \left( \pi +\alpha \right) &=\tan \alpha\\ \cot \left( \pi +\alpha \right) &=\cot \alpha\\ \sec \left( \pi +\alpha \right) &=-\sec \alpha\\ \csc \left( \pi +\alpha \right) &=-\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( -\alpha \right) &=-\sin \alpha\\ \cos \left( -\alpha \right) &=\cos \alpha\\ \tan \left( -\alpha \right) &=-\tan \alpha\\ \cot \left( -\alpha \right) &=-\cot \alpha\\ \sec \left( -\alpha \right) &=\sec \alpha\\ \csc \left( -\alpha \right) &=-\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( \pi -\alpha \right) &=\sin \alpha\\ \cos \left( \pi -\alpha \right) &=-\cos \alpha\\ \tan \left( \pi -\alpha \right) &=-\tan \alpha\\ \cot \left( \pi -\alpha \right) &=-\cot \alpha\\ \sec \left( \pi -\alpha \right) &=-\sec \alpha\\ \csc \left( \pi -\alpha \right) &=\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( 2\pi -\alpha \right) &=-\sin \alpha\\ \cos \left( 2\pi -\alpha \right) &=\cos \alpha\\ \tan \left( 2\pi -\alpha \right) &=-\tan \alpha\\ \cot \left( 2\pi -\alpha \right) &=-\cot \alpha\\ \sec \left( 2\pi -\alpha \right) &=\sec \alpha\\ \csc \left( 2\pi -\alpha \right) &=-\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=\cos \alpha\\ \cos \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=-\sin \alpha\\ \tan \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=-\cot \alpha\\ \cot \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=-\tan \alpha\\ \sec \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=-\csc \alpha\\ \csc \left( \frac{\pi}{2}+\alpha \right) &=\sec \alpha\\ \end{aligned}}$

$\underline{\begin{aligned} \sin \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\cos \alpha\\ \cos \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\sin \alpha\\ \tan \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\cot \alpha\\ \cot \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\tan \alpha\\ \csc \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\sec \alpha\\ \sec \left( \frac{\pi}{2}-\alpha \right) &=\csc \alpha\\ \end{aligned}}$

兩角和公式(加法公式)[三組]

$\sin \left( \alpha +\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$\cos \left( \alpha +\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos \left( \alpha -\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\tan \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}$

$\tan \left( \alpha -\beta \right) =\frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}$

倍角公式

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\cos ^2\alpha -\sin ^2\alpha$

$=2\cos ^2\alpha -1$

$=1-2\sin ^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}$

三倍角公式

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^3\alpha$

$\cos 3\alpha =4\cos ^3\alpha -3\cos \alpha$

$\tan 3\alpha =\tan \alpha \tan \left( \frac{\pi}{3}+\alpha \right) \tan \left( \frac{\pi}{3}-\alpha \right)$

半角公式

$\sin ^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2}$

$\cos ^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}$

$\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$

和差化積

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta}{2}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha -\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha +\beta}{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta}{2}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta}{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta}{2}$

積化和差

$2\cos \alpha \cos \beta =\cos \left( \alpha -\beta \right) +\cos \left( \alpha +\beta \right)$

$2\sin \alpha \sin \beta =\cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha +\beta \right)$

$2\sin \alpha \cos \beta =\sin \left( \alpha -\beta \right) +\sin \left( \alpha +\beta \right)$

萬能公式（畢達哥拉斯恆等式）

$\text{第一恆等式：}\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha =1$

$\text{第二恆等式：}\tan ^2\alpha +1=\sec ^2\alpha$

$\text{第三恆等式：}\cot ^2\alpha +1=\csc ^2\alpha$

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