2、樹、二叉樹、二叉堆、優先隊列

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一、樹的定義

• 樹是 n（n≥0） 個節點的有限集，在任意一個非空樹中， 有如下特點：
  • 有且僅有一個 特定的節點稱爲根節點（root node）
  • 其餘節點可分爲 m（m>0） 個互不相交的有限集， 每一個集合本身又是一個樹， 並稱爲根的子樹
• 樹的最大層級數， 被稱爲樹的高度或深度，下圖中樹的高度爲 4
  

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二、二叉樹(Binary Tree)

• 二叉樹的每個節點最多有 2 個孩子節點，注意：這裏是最多有 2 個，也可能只有 1 個， 或者沒有孩子節點
  
• 滿二叉樹：一個二叉樹的所有非葉子節點都存在左右孩子， 並且所有葉子節點都在同一層級上
  
• 完全二叉樹：跟滿二叉樹相比，其只需保證最後一個節點之前的節點都都存在左右孩子即可
  
• 二叉樹的存儲結構：二叉樹屬於邏輯結構， 它可以通過多種物理結構（eg：鏈表）來表達
  
• 二叉樹的應用：查找（類似二分查找算法，複雜度 O(logn), eg：二叉搜索樹）和維持相對順序（二叉排序樹）
• 二叉樹的遍歷：
  • 深度優先遍歷，根據根節點的遍歷順序可分爲如下三種：
    • 前序遍歷：根左右(根節點、 左子樹、 右子樹)
    • 中序遍歷：左根右(左子樹、根節點、 右子樹)
    • 後序遍歷：左右根(左子樹、 右子樹、根節點)
  • 廣度優先遍歷（層序遍歷）：從根節點到葉子節點的層次關係， 一層一層橫向遍歷各個節點（根左右）
    
• 用遞歸或棧來實現前序、 中序、 後序遍歷：
  • 這 3 種遍歷方式的區別， 僅僅是輸出的執行位置不同： 前序遍歷的輸出在前， 中序遍歷的輸出在中間， 後序遍歷的輸出在最後
  • 二叉樹的構建方法有很多， 這裏把一個線性的鏈表轉化成非線性的二叉樹， 鏈表節點的順序恰恰是二叉樹前序遍歷的順序。 鏈表中的空值， 代表二叉樹節點的左孩子或右孩子爲空的情況

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三、二叉堆(Binary Heap)

• 二叉堆是一種特殊的完全二叉樹， 分爲最大堆和最小堆，是實現堆排序及優先隊列的基礎：
  • 最大堆：任何一個父節點的值， 都大於或等於它左、 右孩子節點的值，堆頂（根節點）是整個堆中的最大元素
  • 最小堆：任何一個父節點的值， 都小於或等於它左、 右孩子節點的值，堆頂（根節點）是整個堆中的最小元素
• 二叉堆的自我調整：
  • 插入節點：插入位置是完全二叉樹的最後一個位置，插入操作是單一節點的上浮，平均交換次數都是堆高度的一半， 所以時間複雜度是 O(logn)
  • 刪除節點：刪除的是處於堆頂的節點，刪除操作是單一節點的下沉，平均交換次數都是堆高度的一半， 所以時間複雜度是 O(logn)
  • 構建二叉堆：把一個無序的完全二叉樹調整爲二叉堆， 本質就是讓所有非葉子節點依次下沉，時間複雜度爲 O(n)

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四、優先隊列(Priority Queue)

• 優先隊列分爲最大優先隊列和最小優先隊列：
  • 最大優先隊列：無論入隊順序如何， 當前最大的元素都會優先出隊， 這是基於最大堆實現的，時間複雜度爲 O(logn)
  • 最小優先隊列：無論入隊順序如何， 當前最小的元素都會優先出隊， 這是基於最小堆實現的，時間複雜度爲 O(logn)