2020.05.16日常總結

$\color{green}{\texttt{洛谷P6492\ [COCI2010-2011 R6] STEP}}$

$\color{blue}{\texttt{【題意】：}}$ copy from 洛谷P6492

$\color{blue}{\texttt{【思路】：}}$

首先，我們爲了方便處理，把 L 抽象成一個數字 $0$，同理把 R 抽象成 $1$。

數據範圍提示我們，我們需要一個時間複雜度爲 $O(q \times \log n)$ 的算法 （或者是 $O(n \times \log q)$，但是應該沒有人能把詢問給 $\log$ 掉） 。想到了什麼？對滴，線段樹！

線段樹的一個非常重要的操作就是 pushup 操作，也就是標記合併操作。我們考慮如何實現這個 pushup 操作。

記 $sum_o$ 爲線段樹上 $o$ 號節點所表示區間最長的滿足要求的字符串。我們考慮 $sum_o$ 能取到什麼值：

• 一種比較顯然的是左右兒子的 $sum$ 值的較大值。
• 還有一種就是左兒子的結尾和右兒子的開頭合併，產生了一個新的滿足要求的字符串。

第一個非常好維護，重點在於第二個。如何方便而快捷地求出第二種情況的解呢？

顯然，單獨一個 $sum$ 不能維護第二種情況。我們考慮多引入幾個變量：

• $le_o$：節點 $o$ 所表示區間的最左邊的字符。
• $ri_o$：節點 $o$ 所表示區間的最右邊的字符。
• $al_o$：節點 $o$ 所表示區間的最長滿足條件的前綴字符串的長度。
• $ar_o$：節點 $o$ 所表示區間的最長滿足條件的後綴字符串的長度。

它們有什麼用？顯然，前兩個值可以方便的告訴我們第二種情況是否存在（如果左兒子的 $ri$ 值 $\neq$ 右兒子的 $le$ 值則有第二種情況，否則沒有）。

後兩個呢？也很顯然，當有第二種情況時，第二種情況中的字符串的長度就是左兒子的 $ar+$ 右兒子的 $al$ 值。

到這裏，我們便可以 $O(1)$ 完成 pushup 操作了。

$\color{blue}{\texttt{【代碼】：}}$

const int N=2e5+100,M=N<<2;
int sum[M],le[M],ri[M],al[M],ar[M],len[M];
inline void pushup(int o){
	if (ri[o<<1]!=le[o<<1|1]){
		sum[o]=ar[o<<1]+al[o<<1|1];
		sum[o]=max(sum[o],sum[o<<1]);
		sum[o]=max(sum[o],sum[o<<1|1]);
	}
	else sum[o]=max(sum[o<<1],sum[o<<1|1]);
	le[o]=le[o<<1];ri[o]=ri[o<<1|1];
	if (al[o<<1]==len[o<<1]&&ri[o<<1]!=le[o<<1|1])
		al[o]=al[o<<1]+al[o<<1|1];//特殊情況 
	else al[o]=al[o<<1];//否則直接繼承左兒子 
	if (ar[o<<1|1]==len[o<<1|1]&&le[o<<1|1]!=ri[o<<1])
		ar[o]=ar[o<<1|1]+ar[o<<1];//一切同上 
	else ar[o]=ar[o<<1|1];//只是變成了右兒子 
}//不能理解？不妨畫個圖試試看~
inline void init_node(int o,int t){
	sum[o]=al[o]=ar[o]=1;le[o]=ri[o]=t;
}
void build(int o,int l,int r){
	len[o]=r-l+1;//區間長度 
	if (l==r){//到達葉節點 
		init_node(o,0);
		return;
	}
	register int mid=(l+r)>>1;
	build(o<<1,l,mid);
	build(o<<1|1,mid+1,r);
	pushup(o);return;
}
void updata(int o,int l,int r,int p){
	if (l==r){
		init_node(o,!le[o]);
		return;
	}
	register int mid=(l+r)>>1;
	if (p<=mid) updata(o<<1,l,mid,p);
	else updata(o<<1|1,mid+1,r,p);
	pushup(o);return;
}
int main(){
	int n=read(),m=read();
	build(1,1,n);//建樹 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		register int x=read();
		updata(1,1,n,x);//修改 
		printf("%d\n",sum[1]);
	}
	return 0;
}