Orac and LCM（GCD/LCM/質因子分解/推導證明）Codeforces Round #641 (Div. 2) C題

題目大意

       給$n(n \le 100000)$個數$a_i(a_i \le 200000)$，求$gcd(\{lcm(\{a_i,a_j\})|i<j\})$.

分析過程

       考慮每個數的素因子分解，對於$(a_i,a_j)$的所有組合，$lcm(a_i,a_j)$對應的素因子$p^k$總滿足$k=max(k_i,k_j)$，即取二者最大的那一個，而對於$gcd$來說則是取$min$。於是，對於結果$ans$來說，一定有一個唯一的素數分解，其中每一個素數$p^k$的$k$等於所有$lcm(a_i,a_j)$組合中$p$的最小值，而對於所有$lcm(a_i,a_j)$來說，能夠得到的最小值是所有$a_i$的$p^k$的次小值$k$，因爲最小的那個$k$肯定會由於$lcm$的$max$特性被掩蓋掉，而當最小的$k$和次小的$k$對應的$a_i$在一起求$lcm$時，次小的那個$k$對應的$a_i$會被保留下來。
       所以，這道題先用類似於埃拉斯托特尼篩選法的方式預處理標記一遍$a_i$的最小素因子，然後對於每個$a_i$進行素因子分解，然後維護對應素因子的最小值和次小值即可。

Another Solution

       還有一種做法，利用公式$gcd( lcm(a1 , a2) , lcm(a1 , a3) ... lcm(a1 , an) ) =lcm (a1 , gcd (a2 , a3 , ... an) )$
這樣只需要求前綴和後綴$gcd$就行了。
關於這個公式的證明留個坑，等之後來填~！

AC代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 100;
const int N = 200000;
ll flag[N+5], a[maxn], cnt[N+5][3], n;
void preTreat(){
	int i, j;
	for(i=2;i<=N;++i){ //預處理標記每個數能夠被整除的最小素因子 
		if(flag[i]) continue;
		for(j=i;j<=N;j+=i){
			if(!flag[j]) flag[j] = i;
		}
	}
	for(i=1;i<=N;++i) cnt[i][0] = cnt[i][1] = N;
}
void solve(){
	int i;
	ll ans = 1;
	for(i=1;i<=n;++i){
		while(a[i] > 1){
			ll c = 0, temp = a[i]; 
			while(a[i] % flag[temp] == 0){
				a[i] /= flag[temp];
				++c;	
			}
			if(c < cnt[flag[temp]][0]) swap(cnt[flag[temp]][0], c);
			if(c < cnt[flag[temp]][1]) swap(cnt[flag[temp]][1], c);
			++cnt[flag[temp]][2]; //記錄此因子存在於多少個樹中 
		} 
	}
	for(i=2;i<=N;++i){
		if(cnt[i][2] < n - 1) continue;
		ll j = cnt[i][1];
		if(cnt[i][2] == n - 1) j = cnt[i][0];
		while(j--) ans *= i; 
	}
	cout<<ans;
} 
int main(){
	int i;
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	preTreat();
	solve();
	return 0;
}