數據結構篇之二叉樹

一、樹的定義

樹型結構是一類非線性的數據結構，樹是以分支關係定義的層次結構，如下圖所示：

樹是n(n >= 0)個節點的有限集，在任意一顆非空樹中：

1. 有且僅有一個特定的稱爲根的節點；
2. 當n > 1時，其餘節點可分爲m(m > 0)個互不相交有限集，其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱爲根的子樹；

樹的結點包含一個數據元素以及若干指向其子樹的分支，節點擁有的子樹數稱爲結點的度，度爲0的稱爲葉子或終端結點，上圖中G、H、I、J、F都是樹的葉子。度不爲0的結點稱爲非終端結點或分支結點，上圖樹的度爲2。

除根節點之外，分支節點也稱爲內部結點。樹的度是樹內各結點的的度的最大值。結點的子樹的根稱爲該結點的孩子，相應地，該結點稱爲孩子的雙親。

如果將樹中結點的各子樹看成從左至右是有次序的，則稱該樹爲有序樹，否則稱爲無序樹。在有序樹中最左邊的子樹的根稱爲第一個孩子，最右邊的稱爲最後一個孩子。

二、二叉樹

1、定義及性質

二叉樹是另一種樹型結構，它的每個結點至多隻有兩個子樹(即二叉樹中不存在度大於2的結點)，並且二叉樹的子樹有左右之分，其次序不能隨意顛倒。

二叉樹具有以下性質：

• 性質一：在二叉樹的第i層至多有 2^i-1 個結點(i >= 1)；

• 性質二：深度爲k的二叉樹至多有 2^k-1 個結點(k >= 1)；

• 性質三：對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數爲n₀，度爲2的結點數爲n₂，則n₀ = n₂ + 1；

• 性質四：具有n個結點的完全二叉樹的深度爲 k - 1 <= log₂ⁿ < k;

• 性質五：如果對一棵有n個結點的完全二叉樹，則對任一結點，有：

  ​ (1) 如果 i = 1，則結點 i 是二叉樹的根，無雙親；如果 i > 1，則其雙親PARET(i)是結點不大於 i/2；

  ​ (2) 如果 2i > n，則結點 i 無左孩子；否則其左孩子LCHILD(i) 是結點 2i；

  ​ (3) 如果 2i + 1 > n，則結點 i 無右孩子；否則其右孩子RCHILD(i) 是結點 2i + 1。

二叉樹的深度：深度是從上到下數的，指根結點到該結點的最長簡單路徑邊的條數；

二叉樹的高度：高度是從下往上數的，高度是從葉子結點到它的根結點的最長簡單路徑的條數。

2、遍歷二叉樹

按某條搜索路徑巡訪樹中的每個結點，使得每個結點均被訪問一次，而且僅被訪問一次，即爲遍歷二叉樹。二叉樹是由3個基本單元組成：根節點、左子樹和右子樹，因此，遍歷二叉樹有三種遞歸算法。

對於非空的二叉樹有以下3中遍歷方法：

1. 先序遍歷二叉樹：訪問根節點 > 先序遍歷左子樹 > 先序遍歷右子樹；
2. 中序遍歷二叉樹：中序遍歷左子樹 > 訪問根節點 > 中序遍歷右子樹；
3. 後序遍歷二叉樹：後序遍歷左子樹 > 後序遍歷右子樹 > 訪問根節點；

3、滿二叉樹

在一棵二叉樹中，如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹，如下圖：

4、完全二叉樹

完全二叉樹是由滿二叉樹而引出來的。對於深度爲K的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每一個結點都與深度爲K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時稱之爲完全二叉樹。

(1)所有的葉結點都出現在第k層或k-l層（層次最大的兩層）

(2)對任一結點，如果其右子樹的最大層次爲L，則其左子樹的最大層次爲L或L+l。

一棵二叉樹至多隻有最下面的兩層上的結點的度數可以小於2，並且最下層上的結點都集中在該層最左邊的若干位置上，則此二叉樹成爲完全二叉樹，並且最下層上的結點都集中在該層最左邊的若干位置上，而在最後一層上，右邊的若干結點缺失的二叉樹，則此二叉樹成爲完全二叉樹。

5、平衡二叉樹

平衡二叉樹又被稱爲AVL樹，它具有以下性質：

• 它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹，且左子樹和右子樹的深度之差的絕對值不超過1；
• 若將二叉樹節點的平衡因子BF定義爲該節點的左子樹的深度減去它的右子樹的深度，則平衡二叉樹上所有節點的平衡因子只可能爲-1,0,1；
• 只要二叉樹上有一個節點的平衡因子的絕對值大於1，那麼這顆平衡二叉樹就失去了平衡。