二分 - Matrix - POJ - 3685

二分 - Matrix - POJ - 3685

題意：

$有一個n階方陣 第i行,j列的值A_{ij} =i^2 + 100000 × i + j^2 - 100000 × j + i × j,\\需要找出這個方陣的第M小值.$

$T組測試用例，\\每組包括兩個整數n和m。$

數據範圍：

$1 ≤ n ≤ 50000，1 ≤ m ≤ n × n\\Time \ limit：6000 ms，Memory \ limit：65536 kB$

Sample Input

12
1 1
2 1
2 2
2 3
2 4
3 1
3 2
3 8
3 9
5 1
5 25
5 10

Sample Output

3
-99993
3
12
100007
-199987
-99993
100019
200013
-399969
400031
-99939

---

分析：

$二分答案第m小的數。$

$關鍵在於check函數如何判定mid是否爲第m小的數。$

$我們發現，當列號j確定時，$$f(i,j)=i^2 + 100000 × i + j^2 - 100000 × j + i × j=f(i)=i^2 + (100000+j) ×i+C,其中C是常數。$

$因爲1 ≤ i,j≤n，故容易得f(i)是單調遞增的。也就是每一列的值都是單調遞增的。$

$因此，我們可以枚舉每一列j，計算第j列中有多少數小於等於mid，由於每一列的數是單調的，又可以用二分。$

$最後累加起來就得到n列中小於等於mid的數的個數。$

$若小於等於mid的數的個數>=m個，則r=mid，否則l=mid+1。$

代碼：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>

#define ll long long
#define P pair<int,int>
#define x first
#define y second

using namespace std;

ll T,n,m;

ll f(ll i,ll j)
{
    return i*i+100000*i+j*j-100000*j+i*j;
}

ll cal(ll t)
{
    ll l,r,res=0;
    for(ll j=1;j<=n;j++)  
    {
        l=0,r=n;
        while(l<r)
        {
            ll mid=l+r+1>>1;
            if(f(mid,j)<=t) l=mid;
            else r=mid-1;
        }
        res+=l;
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;

        ll l=-1e12,r=1e12;
        while(l<r)
        {
            ll mid=l+r>>1;
            if(cal(mid)>=m) r=mid; 
            else l=mid+1;
        }
        
        printf("%lld\n",l);
    }
    
    return 0;
}

---