[BZOJ2301]Problem b

題目

傳送門 to VJ

傳送門 to usOJ

題目概要
求 $\sum_{i\in[a,b],j\in[c,d]}^{\gcd(i,j)=k}1$

數據範圍與約定
數據組數 $T\le 50000$ ，$a,b,c,d,k\le 5\times 10^4$ ，$a\le b$ 且 $c\le d$ 。

思路

既然 $k$ 是已知的，直接枚舉 $\frac ik$ 和 $\frac jk$ 好了。不妨設 $k|a,k|b,k|c,k|d$ 。

$\sum_{i=a/k}^{b/k}\sum_{j=c/k}^{d/k}[\gcd(i,j)=1]$

考慮容斥計算。去掉有公因子 $2,3,5,7,\dots$ 的，加上 $2\times 3,2\times 5,3\times 5,\dots$ 的，而後再減去……

這個可以套個莫比烏斯函數來快速求符號。然後整除分塊加速。每組數據複雜度 $\mathcal O(\sqrt n)$ 。

代碼

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long int_;
// #define int_ long long
int readint(){
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
template < typename T >
void getMin(T&a,const T&b){if(b<a)a=b;}

const int MaxN = 50005;
bool isPrime[MaxN];
vector< int > primes;
int mu[MaxN];
void sievePrime(int n){
	mu[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; ++i)
		isPrime[i] = true;
	for(int i=2,len=0; i<=n; ++i){
		if(isPrime[i]){
			primes.push_back(i);
			mu[i] = -1, ++ len;
		}
		for(int j=0; j<len; ++j){
			if(primes[j] > n/i) break;
			isPrime[i*primes[j]] = 0;
			if(i%primes[j] == 0){
				mu[i*primes[j]] = 0;
				break;
			}
			mu[i*primes[j]] = -mu[i];
		}
	}
}

int main(){
	int a, b, c, d;
	sievePrime(MaxN-5);
	for(int i=2; i<=MaxN-5; ++i)
		mu[i] += mu[i-1];
	for(int T=readint(); T; --T){
		a = readint(), b = readint();
		c = readint(), d = readint();
		int k = readint();
		a = (a-1)/k, b /= k;
		c = (c-1)/k, d /= k;
		int_ ans = 0;
		for(int l=1,r; l<=b&&l<=d; l=r+1){
			r = min(b/(b/l),d/(d/l));
			if(l <= a) getMin(r,a/(a/l));
			if(l <= c) getMin(r,c/(c/l));
			int cnt1 = (b/l)-(a/l);
			int cnt2 = (d/l)-(c/l);
			int_ cnt3 = mu[r]-mu[l-1];
			ans += cnt3*cnt1*cnt2;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}