《統計學》筆記：第13章 時間序列分析和預測

時間序列 times series

時間序列是同一現象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的序列。經濟數據大多數以時間序列的形式給出。根據時間的不同，時間序列中的事件可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式。

平穩序列 stationary series

平穩序列是基本上不存在趨勢的序列。這類序列中的各觀察值基本上在某個固定的水平上波動，雖然在不同的時間段波動的程度不同，但並不存在某種規律，其波動可以看成是隨機的。

非平穩序列 non-stationary series

非平穩序列是包含趨勢、季節性或週期性的序列，它可能只含有其中一種成分，也可能是幾種成分的組合。因此，非平穩序列又可以分爲有趨勢的序列、有趨勢和季節性的序列、幾種成分混合而成的複合型序列。

趨勢 trend

趨勢是時間序列在長時間內呈現出來的某種持續上升或持續下降的變動，也稱長期趨勢。時間序列中的趨勢可以是線性的，也可以是非線性的。

季節性 seasonality / 季節變動 seasonal fluctuation

季節性也稱季節變動，它是時間序列在一年內重複出現的週期性波動。含有季節成分的序列可能含有趨勢，也可能不含有趨勢。

週期性 cyclicity / 循環波動 cyclical fluctuation

週期性也稱循環波動，是時間序列中呈現出來的圍繞長期趨勢的一種波浪形或震盪式變動。週期性通常是由商業和經濟活動引起的，它不同於趨勢變動，不是朝着單一方向的持續運動，而是漲落相間的交替波動；它不同於季節變動，季節變動有比較固定的規律，且變動週期大多爲一年，循環波動則無固定規律，變動週期多在一年以上，且週期長短不一。【批：季節性變動和週期性變動最主要的差別就是變動週期是否一致；季節性波動的週期基本是一致的，例如旅遊景區在每年中的淡季和旺季，我們可以準確地預測淡季、旺季的時間；而週期性變動的週期是不確定的，例如股市的牛市和熊市，我們雖然知道牛市之後很可能是熊市，但我們無法預測牛市和熊市的長度】

隨機性 random / 不規則波動 irregular variations

有些偶然性因素也會對時間序列產生影響，致使時間序列呈現出某種隨機波動。時間序列中除去趨勢、週期性和季節性之後的偶然性波動，稱爲隨機性，也稱不規則波動。

加法模型 additive model

時間序列的成分可以分爲4種，即趨勢（T）、季節性（S）、週期性（C）、隨機性（I）。時間序列可以分解爲加法模型，適用於當季節變動大致相等等情況，其表現形式爲：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

乘法模型 multiplicative model

時間序列也可以分解爲乘法模型，適用於季節變動與時間序列的長期趨勢大致成正比的情況，相較於加法模型更爲常用，其表現形式爲：Yi=Ti+Si+Ci+Ii

——參考：《時間序列分析中的加法模型與乘法模型》,張穎,楊蘭英,統計與信息論壇,2005年7月,第20卷第4期,July,2005

增長率 growth rate

增長率也稱增長速度，它是時間序列報告期觀察值與基期觀察值之比減1後的結果，用%表示。由於對比的基期不同，增長率可以分爲環比增長率和定基增長率。

環比增長率 Ring-to-Ring Growth Rate

環比增長率是報告期觀察值與前一時期觀察值之比減1，說明現象逐期增長變化的程度。【批：例如今年8月相較於今年7月的增長率，可能會受到季節性波動的影響】

同比增長率 year-to-year growth

同比增長率是報告期觀察值與去年同期觀察值之比減1，說明現象相較於去年的增長變化的程度。【批：例如今年8月相較於去年8月的增長率，不會受到季節性波動的影響】

定基增長率 Growth rate of a fixed base

定基增長率是報告期觀察值與某一特定時期觀察值之比減1，說明現象在整個觀察期內的變化程度。【批：例如今年7月、8月都相較於去年1月的增長率】

平均增長率 / 平均增長速度 average rate of increase

平均增長率也稱平均增長速度，它是時間序列中逐期環比值（也稱環比發展速度）的幾何平均數減1後的結果，計算公式爲：
$\overline{G}=\sqrt[n]{(\frac{Y_1}{Y_0})(\frac{Y_2}{Y_1})...(\frac{Y_n}{Y_{n-1}})}-1=\sqrt[n]{\frac{Y_n}{Y_0}}-1$
平均絕對誤差 mean absolute

平均絕對誤差是將預測誤差取絕對值後計算的平均誤差，用MAD表示，其計算公式爲：
$MAD=\frac{\sum^{n}_{i=1}{|Y_i-F_i|}}{n}$
均方誤差 mean square error

均方誤差是通過平方消去誤差的正負號後計算的平均誤差，用MSE表示，其計算公式爲：
$MSE=\frac{\sum^{n}_{i=1}{(Y_i-F_i)^2}}{n}$
平方百分比誤差 mean percentage error / MPE

平方百分比誤差是將預測誤差除以預測值後計算的平均誤差；平方百分比誤差消除了時間序列數據的水平和計量單位的影響，是反映誤差大小的絕對值；用MPE表示，其計算公式爲：
$MPE=\frac{\sum^{n}_{i=1}{\frac{Y_i-F_i}{Y_i}\times100}}{n}$
平方絕對百分比誤差 mean absolute percentage error / MAPE

平方絕對百分比誤差是將預測誤差取絕對值後再除以預測值計算的平均誤差；同樣也消除了時間序列數據的水平和計量單位的影響；用MAPE表示，其計算公式爲：
$MAPE=\frac{\sum^n_{i=1}{\frac{|Y_i-F_i|}{Y_i}\times100}}{n}$
移動平均法 moving average

移動平均法是通過對時間序列逐期遞移求得平均數作爲預測值的一種預測方法，其方法有簡單移動平均法和加權移動平均法兩種。

簡單移動平均法 simple moving average

加權移動平均法 weighted moving average

指數平滑法 exponential smoothing

指數平滑法是通過對過去的觀察值加權平均進行預測的一種方法，該方法使t+1期的預測值等於t期的實際觀察值與t期的實際觀察值與t期的預測值的加權平均數。指數平滑法是加權平均的一種特殊形式，觀察值時間越遠，其權數也跟着呈指數下降，因而稱爲指數平滑。

一次指數平滑法 / 單一指數平滑法 simple exponential smoothing

一次指數平滑法也稱單一指數平滑法，它只有一個平滑係數，而且觀察值離預測時期越久遠，權數變得越小。一次指數平滑是將一段時期的預測值與觀察值的線性組合作爲t+1期的預測值，其預測模型爲：
$F_{t+1}=\alpha{Y_t}+(1-\alpha)F_t$
式中，Yt爲t期的實際觀察值；Ft爲t期的預測值；α爲平滑係數(0<α<1)。

線性趨勢 linear trend

線性趨勢是指現象隨着時間的推移而呈現出穩定增長或下降的線性變化規律。

非線性趨勢 non-linear trend

序列中的趨勢通常可以認爲是由於某種固定的因素作用某一方向所形成的。若這些因素隨着時間的推移呈現出某種非線性趨勢，則需要你和適當的趨勢曲線。

指數曲線 exponential curve

指數曲線用於描述以幾何級數遞增或遞減的現象，即時間序列的觀察值Yt按指數規律變化，或者說時間序列的逐期觀察值按一定的增長率增長或衰減。指數曲線的趨勢方程爲：
$\hat{Y_t}={b_0}{b^t_1}$
季節指數 seasonal index

季節指數刻畫了序列在一個年度內各月或個季度的典型季節特徵。在乘法模型中，季節指數是以其平均數等於100%爲條件而構造的，它反映了某一月份或季度的數值佔全年平均數值的大小。如果現象的發展沒有季節變動，則各期的季節指數應等於100%；如果某一月份或季度有明顯的季節變化，則各期的季節指數應大於或小於100%。因此，季節變動的程度是根據各季節指數與其平均數（100%）的偏差程度來測定的。