機器人理論（2）齊次座標矩陣：旋轉矩陣與角度的相互轉化

引言

都知道旋轉矩陣表達的是剛體（座標系{B}）相對參考座標系{A}的姿態信息，那如何利用已知的旋轉矩陣，將{A}旋轉一定角度變成與{B}一樣的姿態呢？有幾種方法：固定角旋轉、歐拉角旋轉、angle-axis表達法、Quaternion表達法等可以求出這個“角度”，在此介紹前兩種。

另外，機器人學裏常規是如何將剛體的位置、姿態信息融合在一起的呢？

目錄

定角（Fixed angles）

X-Y-Z型公式：

舉例：

歐拉角（Euler angles）​

以Z-Y-Z型爲例的公式：

舉例：

齊次變換矩陣(Homogeneous transformation matrix)

齊次矩陣的作用

齊次矩陣的運算特性

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定角（Fixed angles）

圍繞固定的座標系轉動。固定座標系的原點，座標系再圍繞已經固定的軸轉動，全程原座標系不動。

注意！移動位置的順序可以調換，但是旋轉的順序不能調換，結果不一樣。

 

以X-Y-Z型爲例子：即先圍繞X軸進行轉動γ°，然後圍繞Y軸進行轉動β°，最後圍繞Z軸進行轉動α°。注意逆時針爲正方向。

X-Y-Z型公式：

重點：先轉的軸的放後面運算，如下

 

舉例：

由角度推旋轉矩陣

由旋轉矩陣推角度

 

【解釋】在這一題，我們可以藉助我在“機器人理論（一）”文章中“旋轉矩陣的特性和作用”的第三小節的公式，直接使用

、 兩個矩陣，並且結合定軸旋轉的“先轉的放後面”，直接乘相乘即可。

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歐拉角（Euler angles）

“自旋轉”，圍繞當下（自己）的座標系某軸轉動，就是每次旋轉，都固定被圍繞的某一軸，另兩軸動。

每次旋轉，整個座標系都會改變位置。

以Z-Y-Z型爲例的公式：

重點：先轉的軸的放前面運算，如下

舉例：

矩陣轉角度:

角度推旋轉矩陣直接代公式就行,在這略。

【解釋】在這一題，我們可以藉助我在“機器人理論（一）”文章中“旋轉矩陣的特性和作用”的第三小節的公式，直接使用

、 兩個矩陣，並且結合自旋轉的“先轉的放前面”，直接按照順序相乘即可。

 

 

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在（一）中我們已經知道如何表達位置信息的表達和姿態信息，就可以將它們合在方形矩陣——齊次變換矩陣裏，以此表達剛體的空間信息。

 

齊次變換矩陣(Homogeneous transformation matrix)

也有稱”齊次座標“、”齊次座標系“、”齊次矩陣“的。

包括物體的位置信息與姿態信息的矩陣，其實就是記錄姿態信息的旋轉矩陣和位置信息的合成。最後一行爲固定數字0001。即n維的向量用一個n+1維向量來表示（多加了最後一行），所以稱爲”齊次“。

• 齊次矩陣的作用

該矩陣的三個作用與旋轉矩陣一致

（1）可以描述座標系{B}相對於{A}的空間信息：

（2）可以將某物體在座標系{B}上的空間信息轉換到{A}上（Mapping）

它的運算，例如上面提到的定角旋轉——先轉的放後面。

舉例：

（3）可以得出同一個座標系{A}中的某向量P旋轉某角度θ後的座標（operator）

它的運算類似於上面提到的歐拉角旋轉——先轉的放前面。

證明：

舉例：

 

• 齊次矩陣的運算特性

（1）連續性：

旋轉矩陣也有同樣性質。

（2）反矩陣=轉置矩陣：

 

齊次矩陣特性的實際應用：利用已知的T關係，求解出未知關係的 T 矩陣

 

吐槽：csdn的文章編輯排版也太爛了.....這個圖片縮放跟鬧着玩一樣縮不縮都一樣。

感謝：課程內容、PPT來自林沛羣教授的《機器人學》