個人複習（四）-除法分塊

  學莫比烏斯反演學着學着，發現除法分塊不會，學吧學吧，反正莫比烏斯反演都學了。

除法分塊

      簡單來說就是將商相同的數放在一起計算，可以把時間複雜度從O（n）降到O（sqrt(n)。最經典的就是∑(i從1到n)   n/i. 因爲1-n的商會有相同的部分，可以把一起計算來加快速度。

 模板（後面有鏈接）

//經典模板：
long long solve(int N){
    int L= 1,R;
    long long tot = 0;
    while (L <= N){
        R = N / (N / L);  //求出右邊的範圍
        tot += (N / L) * (R - L + 1); //求出商相同區間的值
        L = R + 1; //區間往後移動1
    }
    return tot;
}

 

舉個栗子：
求∑(i從1到10) n/i

i=1         10

i=2         5

i=3         3

i=4         4

i=5         5

i=6         1

i=7         1

i=8         1

i=9         1

i=10       1

我們可以看出i=6-10的結果都是1，我們可以將他們直接相加，求出他們的範圍就好了，範圍怎麼求呢？
我們來看 R=N/(N/L)

先求出商的大小，然後再去找商爲它的最大數是多少。

這樣就可以求出它的範圍（範圍是連續的，所以我們每次記錄左邊界的範圍）

上面就是最簡單的除法分塊情況

 

LG的2007題算是我寫的第一題（轉了點彎），需要先將題目個的公式化簡成能用除法分塊的形式：n*k-∑((k/i) * i) （i<=k）的形式  

相對的 分塊的公式也有點不同：

（k/left）*(right-left)*(left+right)/2;

  因爲每項後面還需要乘以i，所以我們需要將一個範圍的i相加，所以還需要額外的乘以 (left+right)/2;

另外：注意的就是∑的範圍，可能n<K 所以需要注意範圍

AC代碼，不是特別簡潔：
 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define Max 1005
#define max(a,b) a>b?a:b;
#define min(a,b) a>b?b:a;

using namespace std;

{
	long long left,right,n; 
} 
int main()
{
	long long n,k;
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	long long ans,m;
	ans=n*k;
	int l=1,r;
	if(n>=k)
	while(l<=k)   //n>k的情況 
	{
		r=k/(k/l);
		ans-=(k/l)*(r-l+1)*(r+l)/2;
		l=r+1; 
	}
	else
	while(l<=n)  //n<k的情況 
	{
		r=k/(k/l);
		if(r>n)
		r=n;
		ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
		l=r+1;
	}
	
	printf("%lld\n",ans);
	
	return 0;
}

別人簡潔的代碼（別人的題解）：
 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    long long n,k,l;
    scanf("%lld %lld",&n,&k);
    long long ans = n * k;
    for (long long i = 1 ; i <= n ; i = l + 1)
    {
        long long a = k/i;
        l = (a != 0) ? min(k/a,n) : n;
        long long cha = a * (i+l)*(l-i+1)/2;
        ans -= cha;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

 

參考博客：

除法分塊

除法分塊證明