(三)證明不等式|(e-(1+1/n)^n)|

證明不等式

|e−(1+1n)n|<3n

證明：
由(二)證明數列{(1+1/n)^(n+1)}爲遞減數列可得

e<(1+1n)n+1=(1+1n)n(1+1n)

可得

e−(1+1n)n<1n(1+1n)n

只要證明

(1+1n)n<3

當n=1時顯然成立
當n>=2時，由於

(1+1n)n=c0n+c1n1n+c2n1n2+...+ckn1nk+...+cnn1nn

因爲

ckn1nk=n(n−1)...(n−k+1)k!·1nk

ckn1nk=1k!·nn·n−1n·n−2n...n−k+1n<1k!<=12k−1;(2<=k<=n)

所以

(1+1n)n<1+12+121+...+12n−1=1+(1−12n)1−12

(1+1n)n<3−12n−1<3

所以

|e−(1+1n)n|<3n