算法設計與分析課程複習筆記10——最小生成樹

最小生成樹MST

修路問題
一個小鎮有一些房子和一些路，每條路連接且僅連接2座房子，連接u和v房子的路的維修代價爲w(u,v),
現在要維修僅夠需求的道路，使得：每兩座房子之間保持連通，維修代價最小。

圖爲連通無向圖，頂點爲房子，邊爲路，維修費用爲邊的權。
找到一個T，T爲E的子集，並且w(T)= $\displaystyle \sum_{(u,v)∈T}w(u,v)$

最小生成樹特性

非唯一
沒有迴路
MST邊的數目爲頂點數目減1

MST生成
一般方法：
創建一個邊的集合A,起始時爲空
逐漸向A中添加邊並保持A屬於某個MST
當且僅當A ∪ {(u, v)}是MST的子集，我們說邊(u, v)對於A是安全的

MST一般算法
A ← 空集
while A is not a spanning tree(沒有形成生成樹）
　do find an edge(u,v) that is safe for A(尋找對A安全的邊(u, v)）
　　Ａ ← A ∪ {(u,v)}
return A

如何找到對A安全的邊？
一些定義：

切割：將圖的頂點分成兩個互不相連的兩個集合S和V – S
如果一個邊的兩個端點分別在切割的兩個集合S和V - S中,我們說該邊橫跨該切割
一個切割不干預集合A $\leftrightarrow$ 集合A中沒有邊與該切割相交
橫跨切割的輕邊 $\leftrightarrow$ 所有橫跨切割的邊中權值最小的邊

定理：
A是MST的子集， (S, V - S)是不干預A的一個切割， (u, v)是橫跨該切割的輕邊，那麼， (u, v)對於A是安全的。

Kruskal算法

從每個頂點開始,每個頂點即是個組件
通過選擇輕邊LE，不斷的將兩個組件連接起來
依權值遞增順序檢查邊的集合
利用不相關集合的數據結構判斷邊是否連接不同的組件

不相關集合的操作

MAKE-SET(u)創建集合，僅含元素u
FIND-SET(u)包含u，返回代表元素

集合的任何元素具有某個特定的屬性
集合 $S_u$ 的特性是按字母順序的第一個字母
E.g.: $S_u$ = {r, s, t, u},FIND-SET(u) = r,FIND-SET(s) = r
對於給定的集合，返回同樣的值

UNION(u,v)合併操作
E.g.: $S_u$ = {r, s, t, u}, $S_v$ = {v, x, y}
UNION (u, v) = {r, s, t, u, v, x, y}

Kruskal(V,E,w)
　A ← 空集
　for each vertex v ∈ V
　　do MAKE-SET(v)
　sort E into non-decreasing order by weight w（權值遞增排序）
　for each (u, v) taken from the sorted list
　　do if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v) （屬於不同的組件）
　　　then A ← A ∪ {(u, v)}
　　　　UNION(u, v)
　return A

運行開銷： $O(ElgV)$

Prim算法

集合A中的邊形成一棵樹
從任意選定的根開始
每次

確定切割( $V_A$ , V - $V_A$ )的LE
將LE加入A
重複直到樹包含所有頂點

貪婪策略：每次加入的邊使樹的邊的權值和增加最小

如何快速確定LE？
利用優先隊列

包含所有不在樹中的頂點(V – $V_A$ )
每個頂點賦予一個關鍵值，即樹中連接至v的任何邊(u, v)的最小權值
如果v與 $V_A$ 任何的頂點不相連，則關鍵值爲 $\infty$
增加節點後，所有與之相連的節點的關鍵值要做調整

Prim(V,E,w,r)
　Q ← 空集
　for each u ∈ V
　　do key[u] ← $\infty$
　　　π[u] ← NIL
　key[r] ←0
　Q ← V
　while Q ≠ 空集
　　　do u ← EXTRACT-MIN(Q)
　　　for each v ∈ Adj[u]
　　　　do if v ∈ Q and w(u, v) < key[v]
　　　　　　then π[v] ← u
　　　　　　　　key[v] ← w(u, v)