算法設計與分析課程複習筆記6——統計算法

算法設計與分析課程複習筆記6——統計算法

統計算法

修路問題

Given (x,y) coordinates of N houses, where should you build road parallel to x-axis to minimize construction cost of building driveways?


最終正確的解決方案：將街道置於Y座標的中間

序列統計

• 求極大和極小
• 求第k小元素

求極小或極大
Minimum（A）
min←A[1]
for i=2……n
　do if A[i] < min
　　then min ← A[i]
return min

Lemma: The minimum or maximum of a set of n elements can be found using n – 1 comparisons.(通過n-1次比較能找到n個元素的極大或極小)

同時求極大和極小
簡單答案：極大和極小可通過2n-2次比較得到
更好的辦法：
Min-Max(A)
　for i = 1…n / 2
　　do if A[2i – 1] ≤ A[2i]
　　　then B[i] ← A[2i – 1]
　　　　　C[i] ← A[2i]
　　　else B[i] ← A[2i]
　　　　　C[i] ← A[2i – 1]
　min ← Minimum(B)
　max ← Maximum(C)
　return (min, max)

n/2次得到B和C，從B中找到最小的，從C中找到最大的。
總共比較次數：3n/2-2

從序列中選出第i小元素
想法：
用快速排序中的分割算法對序列進行分割
在分割後的一邊尋找第i小元素,需要與分割中心位置比較

時間開銷：
可以以Θ(n)開銷完成

隨機選擇算法
RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i )
if p = r
　then return A[p]
q ←RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r) (返回值)
k ← q - p + 1 (分割中心所在位置)
if i = k 　　　　　　　　　　　//pivot value is the answer
　then return A[q]
else if i < k
　then return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q-1, i )
else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i-k)

分析：
最壞情況： 以最大或最小爲分割中心，分隔開銷Θ(n)
$T(n)=O(1)[選擇分割中心]+Θ(n)[分割]+T(n-1)=1+n+T(n-1)=Θ(n^2)$
平均情況：
$E[T(n)]\leq \frac2n\sum_{k=\lfloor{n/2}\rfloor}^{n-1}[T(k)]+O(n)$

更好的選擇算法
在最壞情況下選擇開銷爲O(n)
採用改進的分割方法，不再是以序列的最後一個元素爲分割中心

1. 分成$\lceil$n/5$\rceil$組
2. 找到每組的中值
3. 找到$\lceil$n/5$\rceil$組中值的中值x
4. 運用改進的分割算法在x處分割
5. 如果i=k，返回x結束；否則，在左右遞歸求解

example:
尋找第6小的元素
A = {12, 34, 0, 3, 22, 4, 17, 32, 3, 28, 43, 82, 25, 27,
34, 2 ,19 ,12 ,5 ,18 ,20 ,33, 16, 33, 21, 30, 3, 47}

1.分成$\lceil$n/5$\rceil$組。

1️⃣12，34，0，3，22
2️⃣4，17，32，3，28
3️⃣43，82，25，27，34
4️⃣2，19，12，5，18
5️⃣20，33，16，33，21
6️⃣30，3，47

2.找到每組的中值。

1️⃣0，3，12，22，34
2️⃣3，4，17，28，32
3️⃣25，27，34，43，82
4️⃣2，5，12，18，19
5️⃣16，20，21，33，33
6️⃣3，30，47

3.找到$\lceil$n/5$\rceil$組中值的中值x。

12，12，17，21，30，34

4. 運用改進的分割算法在x處分割。

第一部分：12, 0, 3, 4, 3, 2, 12, 5, 16, 3
pivot：17【position of the pivot is q = 11】
第二部分：34, 22, 32, 28, 43, 82, 25, 27, 34, 19, 18, 20, 33, 33, 21, 30, 47

5.在第一部分遞歸求解。

1.O(n)
2.O(n)
3.T($\lceil$n/5$\rceil$)
4.O(n)
5.≤ T(7n/10 + 6)——閱讀教材

T(n)=T($\lceil$n/5$\rceil$)+T(7n/10 + 6)+O(n)
$T(n)=O(n)$

參考：任課教師邱德紅教授的課件