極化碼是已知的唯一一種能夠被證明“達到”香農限的信道編碼方法。

極化碼是通過信道極化現象，使可靠的信道傳輸信息比特，在不可靠的信道上傳輸凍結比特，做到了揚長避短。

極化碼在設計的時候不考慮最小距離特性，而是利用信道聯合和信道分裂的過程來選擇具體的編碼方案。而且在譯碼時也是採用概率算法。

碼長=N的極化碼，它利用信道W的N個獨立副本，進行信道聯合和信道分裂，得到新的N個分裂之後的信道，隨着碼長的增加，分裂之後的信道將向兩個極端發展：其中一部分分裂信道會趨近於完美信道，即信道容量趨近於1的無噪聲；而另一部分分裂信道會趨近於完全噪聲信道，即信道容量趨近於0的信道。

原信道W的二進制輸入對稱容量記作I（W），那麼當碼長趨近於無窮的時候，信道容量趨近於1的分裂信道比例約爲K=N×I(W):信息比特的數量，而信道容量趨近於0的比例約爲N×(1−I(W))：凍結比特的數量。對於信道容量爲1的可靠信道，可以直接放置消息比特而不採用任何編碼，即相當於編碼速率爲R=1R=1；而對於信道容量爲0的不可靠信道，可以放置發送端和接收端都事先已知的凍結比特，即相當於編碼速率爲R=0。那麼當碼長N→∞時，極化碼的可達編碼速率R=K/N=N×I(W)/N=I(W)，即在理論上，極化碼可以被證明是可達信道容量的。

對極化碼可靠性度量有三個方法：巴氏參數法、密度進化法、高斯近似法

巴氏參數法：

密度進化法：

高斯近似法：

極化碼編碼：

預備知識

碼長爲N，信道極化，信息比特在容量趨於1的信道中傳輸、數量爲K，其餘容量趨於0的信道傳輸凍結比特、數量爲P，N=K+P,碼率R=K/N。

一個二進制輸入離散無記憶信道（B-DMC）可表示爲W:X→Y，X是輸入符號集合，Y是輸出符號集合，轉移概率爲W(y|x),x∈X,y∈Y，輸入X是0或者1，Y和轉移概率是任意值。對信道W的N次使用後的信道可表示爲WN:XN→YN的轉移概率爲

對於B-DMC信道有兩個重要的信道參數：

對稱容量：

巴氏參數：

I（W）是信道速率的度量，在等概率輸入下的可靠傳輸時的最大速率。（越大越好）

Z（W）是信道可靠性的度量，在只傳輸0或1下的最大似然判決錯誤概率的上限。（越小越好）

以上參數取值都是0到1，成反比，單位都是bit。

W爲對稱信道時，I（W）等於香農容量。W(0|0)=W(1|1)W(0|0)=W(1|1)且W(1|0)=W(0|1)、

W(y|0)W(y|1)=0W(y|0)W(y|1)=0或W(y|0)=W(y|1)都是對稱信道。

行向量(a1,…,aN)

在這裏簡寫成，其子項量爲，例如表示一行5列的向量，其中我們可以知道，e是代表列序號偶索引的向量，o代表列序列奇索引的向量。

運算符號

⊕爲模2加，⊗爲克羅內克積（Kronecker Power）。記表示A的n次克羅內克積，有遞歸式，並且定義A⊗0=[1]。記|A|表示集合A中元素的個數。

信道極化

信道極化分爲信道聯合和信道分裂。

信道聯合

下圖得到向量信道：，轉移概率爲：

其中，是一種特殊的置換矩陣，稱爲逆洗牌操作。逆洗牌操作是指首先將原向量奇數位的所有元素抽出，然後按照各元素間的原始相對順序排列看成新向量的前半段的元素，而剩下的元素按相對順序自動看成新向量的後半段元素，即到的操作，從u到x可以由表示。

下圖是的2個獨立副本聯合產生信道，u首先轉化成s：，輸入爲s，輸出爲

轉移概率爲

信道分裂

信道極化的第二個階段，將信道聯合構成的複合信道分裂成N個二進制輸入的座標信道

轉移概率爲豎線前面是輸出，後面是輸入。

奇序分裂子信道和偶序分裂子信道的轉移概率由兩個遞歸式得到：

信道極化定理

對任意的B-DMC，信道W與任意，當N以2的冪次趨於無窮大時，極化信道中滿足的信道數佔信道總數N的I(w),滿足的信道所佔的比例爲1-I（W）。

極化編碼

極化碼具有一般的二元線性分組碼的基本編碼要素，可以通過下列式子進行編碼：

，其中u爲原始比特序列、包含信息比特和凍結比特，x爲編碼後的序列，G爲生成矩陣，碼長爲N。

極化碼編碼步驟：

1.極化信道可靠性估計

2.比特混合

3.構造生成矩陣

4.代入式子進行編碼

具體分析：

1.極化信道可靠性估計：由下列式子計算巴氏參數。

巴氏參數越小越好。

2.比特混合：選擇巴氏參數越小的K個分裂子信道傳輸信息比特，其他分裂子信道傳輸凍結比特。

3.構造生成矩陣：，其中，，表示F的n次克羅內克積：，是比特轉置矩陣，用來完成比特反序重排的操作，具體操作是將原來的十進制序列號按二進制表示，首項爲最高有效位，再將二進制序列反序，得到，最後以b1爲最高位重新按十進制表示成，令輸出序列的第j個元素取值爲原序列的第i個元素。的遞歸定義式爲，作用效果如下：，反映出了信道極化中的逆洗牌操作。

BEC（0.5）下（8，4）極化編碼的例子

首先構造生成矩陣

在BEC信道下擦出概率爲0.5，即，i=1，2，……8，根據一下公式可以得到的計算結果

得到：

可以看出，i=4，6，7，8時信道可靠性高根據公式，在凍結比特設置爲0的情況下：

若給定信源序列爲（1，0，1，1），對應的碼字爲（1，0，1，0，0，1，0，1）

極化碼譯碼

信息序列u經過極化信道的傳輸得到碼字x，在接收端接收到了y，譯碼器就是從接受的信息中恢復處信息序列u的估計值。

SC譯碼算法

SC譯碼算法是polar碼的基本算法，也是polar碼的核心算法。該算法是一種連續消除譯碼算法，知道最後一個比特判決輸出在得到最終的譯碼輸出序列。對於參數的polar碼編碼，估計值通過下列公式判決得到：

其中，hi是一個判決函數，定義如下：

譯碼過程中，將轉移概率之比定義爲似然比（LR），也即單個比特的LR：

則第i個判決單元的判決準則爲：

我們可以來通過兩個遞歸的公式來得出信息的LR形式：

藉助遞歸函數F和G函數：

其中:

遞歸終止條件是N=1。

上圖是最左邊是譯碼結果，最右邊是初始LLR值。根據上面的式子經過遞推可以得到初始估計值。

極化碼的編碼複雜度都是

優點：極化碼在碼長足夠大時使用SC譯碼算法進行譯碼能夠獲得良好的漸進性能，並且在碼長趨於無限長時，極化碼被證明能夠達到信道容量。

缺點：實際系統中，碼長是有限的，由於SC譯碼算法的逐比特譯碼性能可能造成錯誤傳輸，導致其譯碼性能有限。

SCL譯碼算法

SCL譯碼算法主要是通過多保存一些譯碼路徑來保證譯碼性能的正確性，同時也提出了犧牲較少的信息比特使用CRC對信息進行冗餘校驗，最後在SCL的譯碼後使用CRC來輔助譯碼路徑的選擇。當然與SC譯碼算法相比，SCL算法的計算複雜度和存儲空間均爲SC算法的L倍。

SC譯碼也可以表示成碼樹上的局部最優路徑的搜索

每一條路對應一條選擇路徑，每一層僅搜索一層，最寬的線條表示路徑選擇的方向。因爲後面比特的譯碼需要前面的信息比特估計值，如果有一個信息比特譯碼錯誤，那麼錯誤傳播還是會發生，最後整條路徑都是錯誤的。

爲解決這一問題，提出了以SC譯碼算法爲基礎的改進譯碼算法——SCL算法，即在譯碼的過程中能夠保存最多L候選路徑，可以減少路徑出錯的概率。我們需要設置合適的最大路徑L值，在譯碼複雜度不是很高的情況下獲得良好的譯碼性能。

與SC算法一樣，改進的算法依然從碼樹根節點開始，逐層依次向葉子節點層進行路徑搜索。不同的是，每一層擴展後，選擇路徑度量值最小的L條，保存一個列表中，等待進行下一層的擴展。因此稱該算法爲串行抵消列表譯碼算法，並稱參數L爲搜索寬度。當L=1時，SCL算法爲SC算法，當L≥2的k次冪時，SCL算法等於ML算法。

路徑度量值

在SCL譯碼中，存在L條路徑同時進行譯碼搜索，對於任意一條路徑以及任意發送比特，對應的路徑度量值定義如下：

其中，

如果發送端所有信息比特在{0,1}上均勻分佈，那麼對於任意兩條不同路徑，當且僅當成立時，有如下關係成立：

由上式可見，路徑對應的轉移概率越大，路徑度量值越小。基於這種關係就完全可以在對數似然比上對2L條路徑進行挑選。上式可以近似表示爲：

但考慮譯碼過程中包含了信息比特和凍結比特，因此上式可以改寫爲：

其中對於信息比特的判決有：

SCL譯碼其實就是有L個SC譯碼同時進行。

例子：

假設原始比特序列，其中爲信息比特，經過polar編碼以後通過AWGN信道傳輸，假設接收端已知信道對數似然比爲。

則最終的最佳路徑結果爲：

從上圖可以看到，最終的估計值爲，這並不是最終的結果，因爲極化編碼是經過逆洗牌操作的（比特反轉），（0 0 1 1）對應的位置爲（1 3 2 4），所以最終的結果爲（0 1 0 1）。

CRC-SCL譯碼算法

循環冗餘校驗是一種信道檢測技術，在實際數字通信系統中已經得到了廣泛應用。對於Polar碼而言，在SCL譯碼結束時得到一組候選路徑，能夠以非常低的複雜度與CRC進行聯合檢測譯碼，選擇能夠通過CRC檢測的候選序列作爲譯碼器輸出序列，從而提高譯碼算法的糾錯能力。

CRC-SCL算法就是在信息比特中添加CRC校驗比特序列，利用SCL譯碼算法正常譯碼獲得L條搜索路徑，然後藉助“正確信息比特可以通過CRC校驗”的先驗信息，對這L條搜索路徑進行挑選，若校驗結果爲0，就認爲該條路徑是正確的，從而輸出最佳譯碼路徑。給定polar碼碼長爲N，CRC校驗碼碼長爲m，若極化碼的信息爲長度爲K，編碼信息比特的長度爲k，如圖1所示，有K=k+m。Polar碼的碼率仍然爲R=K/N。