cross_entropy-----交叉熵是深度學習中常用的一個概念，一般用來求目標與預測值之間的差距。
在介紹softmax_cross_entropy，binary_cross_entropy、sigmoid_cross_entropy之前，先來回顧一下信息量、熵、交叉熵等基本概念。
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信息論
交叉熵是信息論中的一個概念，要想了解交叉熵的本質，需要先從最基本的概念講起。
一、信息量
首先是信息量。假設我們聽到了兩件事，分別如下：
事件A：巴西隊進入了2018世界盃決賽圈。
事件B：中國隊進入了2018世界盃決賽圈。
僅憑直覺來說，顯而易見事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因爲事件A發生的概率很大，事件B發生的概率很小。所以當越不可能的事件發生了，我們獲取到的信息量就越大。越可能發生的事件發生了，我們獲取到的信息量就越小。那麼信息量應該和事件發生的概率有關。
二、什麼是熵
熵
對於某個事件，有n種可能性，每一種可能性都有一個概率p(xi)
這樣就可以計算出某一種可能性的信息量。舉一個例子，假設你拿出了你的電腦，按下開關，會有三種可能性，下表列出了每一種可能的概率及其對應的信息量
注：文中的對數均爲自然對數
我們現在有了信息量的定義，而熵用來表示所有信息量的期望，即：
其中n代表所有的n種可能性，所以上面的問題結果就是
二、 相對熵（KL散度）
相對熵又稱KL散度,如果我們對於同一個隨機變量 x 有兩個單獨的概率分佈 P(x) 和 Q(x)，我們可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）來衡量這兩個分佈的差異
在機器學習中，P往往用來表示樣本的真實分佈，比如[1,0,0]表示當前樣本屬於第一類。Q用來表示模型所預測的分佈，比如[0.7,0.2,0.1]
KL散度的計算公式：
三、什麼是交叉熵
交叉熵
對式3.1變形可以得到：
其中p代表label或者叫groundtruth，q代表預測值
在機器學習中，我們需要評估label和predicts之間的差距，使用KL散度剛剛好，即
由於KL散度中的前一部分恰巧就是p的熵，p代表label或者叫groundtruth，故−H(p(x))不變，故在優化過程中，只需要關注交叉熵就可以了，所以一般在機器學習中直接用用交叉熵做loss，評估模型。
交叉熵：
四、softmax_cross_entropy
以tensorflow中函數softmax_cross_entropy_with_logits爲例，在二分類或者類別相互排斥多分類問題，計算 logits 和 labels 之間的 softmax 交叉熵。
數據必須經過 One-Hot Encoding 編碼
tf.one_hot
用 mnist 數據舉例，如果是目標值是3，那麼 label 就是[0，0，0，1，0，0，0，0，0，0]，除了第4個值爲1，其他全爲0。
該函數把一個維度上的 labels 作爲一個整體判斷，結果給出整個維度的損失值。
這個函數傳入的 logits 是 unscaled 的，既不做 sigmoid 也不做 softmax ，因爲函數實現會在內部更高效得使用 softmax 。
softmax_cross_entropy_with_logits計算過程
1、對輸入進行softmax
softmax公式
舉個例子：假設你的輸入S=[1,2,3]，那麼經過softmax層後就會得到[0.09,0.24,0.67]，這三個數字表示這個樣本屬於第1,2,3類的概率分別是0.09,0.24,0.67。
2、計算交叉熵
交叉熵公式
L是損失，Sj是softmax的輸出向量S的第j個值，前面已經介紹過了，表示的是這個樣本屬於第j個類別的概率。yj前面有個求和符號，j的範圍也是1到類別數T，因此label——y是一個1*T的向量，裏面的T個值，而且只有1個值是1，其他T-1個值都是0。真實標籤對應的位置的那個值是1，其他都是0。所以這個公式其實有一個更簡單的形式：
來舉個例子吧。假設一個5分類問題，然後一個樣本I的標籤y=[0,0,0,1,0]，也就是說樣本I的真實標籤是4，假設模型預測的結果概率（softmax的輸出）p=[0.1,0.15,0.05,0.6,0.1]，可以看出這個預測是對的，那麼對應的損失L=-log(0.6)，也就是當這個樣本經過這樣的網絡參數產生這樣的預測p時，它的損失是-log(0.6)。那麼假設p=[0.15,0.2,0.4,0.1,0.15]，這個預測結果就很離譜了，因爲真實標籤是4，而你覺得這個樣本是4的概率只有0.1（遠不如其他概率高，如果是在測試階段，那麼模型就會預測該樣本屬於類別3），對應損失L=-log(0.1)。
補充：sparse_softmax_cross_entropy_with_logits
sparse_softmax_cross_entropy_with_logits 是 softmax_cross_entropy_with_logits 的易用版本，除了輸入參數不同，作用和算法實現都是一樣的。
區別是：softmax_cross_entropy_with_logits 要求傳入的 labels 是經過 one_hot encoding 的數據，而 sparse_softmax_cross_entropy_with_logits 不需要。
五、binary_cross_entropy
binary_cross_entropy是二分類的交叉熵，實際是多分類softmax_cross_entropy的一種特殊情況，當多分類中，類別只有兩類時，即0或者1，即爲二分類，二分類也是一個邏輯迴歸問題，也可以套用邏輯迴歸的損失函數。
1、利用softmax_cross_entropy_with_logits來計算二分類的交叉熵
來舉個例子，假設一個2分類問題，假如一個batch包含兩個樣本，那麼標籤要製成二維，形如
y=[ [1, 0]，[0, 1] ]，
模型預測輸出也爲二維，形如
p=[ [0.8,0.2]，[0.4,0.6] ] #（softmax的輸出）
那麼對應的損失
L=( -log(0.8) - log(0.6) ) / 2
實際在計算中若採用softmax_cross_entropy_with_logits函數，不要事先做softmax處理。
2、套用邏輯迴歸代價損失函數來計算二分類的交叉熵
邏輯迴歸的損失函數如下：
來舉個例子，假設一個2分類問題，假如一個batch包含兩個樣本，那麼標籤要製成一維，形如
y=[0，1 ]，
模型預測輸出也爲一維，形如
p=[ 0.2，0.6 ] #sigmoid的輸出，這裏一定要預先用sigmod處理，將預測結果限定在0~1之間，
那麼對應的損失
L=( - 0*log(0.2) - (1 - 0)*log(1- 0.2) - log(0.6) - (1 -1)*log(1 - 0.6) ) / 2 = ( -log(0.8) - log(0.6) ) / 2
六、sigmoid_cross_entropy
以tensorflow中函數sigmoid_cross_entropy_with_logits爲例說明
sigmoid_cross_entropy_with_logits函數，測量每個類別獨立且不相互排斥的離散分類任務中的概率。(可以執行多標籤分類，其中圖片可以同時包含大象和狗。)
import tensorflow as tf
_logits = [[0.5, 0.7, 0.3], [0.8, 0.2, 0.9]]
_one_labels = tf.ones_like(_logits)
# [[1 1 1]
# [1 1 1]]
_zero_labels = tf.zeros_like(_logits)
# [[0 0 0]
# [0 0 0]]
with tf.Session() as sess:
loss = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=_logits, labels=_one_labels)
print(sess.run(loss))
# [[0.47407699 0.40318602 0.5543552]
# [0.37110069 0.59813887 0.34115386]]
loss = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(logits=_logits, labels=_zero_labels)
print(sess.run(loss))
# [[0.97407699 1.10318601 0.85435522]
# [1.17110074 0.79813886 1.24115384]]
看看sigmoid_cross_entropy_with_logits函數定義
def sigmoid_cross_entropy_with_logits(_sentinel=None, labels=None, logits=None, name=None):
#爲了描述簡潔，規定 x = logits，z = labels，那麼 Logistic 損失值爲：
z * -log(sigmoid(x)) + (1 - z) * -log(1 - sigmoid(x))
= z * -log(1 / (1 + exp(-x))) + (1 - z) * -log(exp(-x) / (1 + exp(-x)))
= z * log(1 + exp(-x)) + (1 - z) * (-log(exp(-x)) + log(1 + exp(-x)))
= z * log(1 + exp(-x)) + (1 - z) * (x + log(1 + exp(-x))
= (1 - z) * x + log(1 + exp(-x))
= x - x * z + log(1 + exp(-x))
該函數與 softmax_cross_entropy_with_logits的區別在於：softmax_cross_entropy_with_logits中的labels 中每一維只能包含一個 1，而sigmoid_cross_entropy_with_logits中的labels 中每一維可以包含多個 1。
softmax_cross_entropy_with_logits函數把一個維度上的 labels 作爲一個整體判斷，結果給出整個維度的損失值，而 sigmoid_cross_entropy_with_logits 是每一個元素都有一個損失值，都是一個二分類（binary_cross_entropy）問題。
參考：https://www.cnblogs.com/guqiangjs/p/8202899.html
作者：dopami
鏈接：https://www.jianshu.com/p/47172eb86b39
來源：簡書
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