快速冪 & 快速乘原理講解（模板）

目錄

1 問題描述

2 原因分析

3 解決方法

4 快速冪講解

5 快速乘講解

6 完整代碼

7 References

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1 問題描述

我們發現，在int型下使用pow函數求5的三次方，結果爲124。

2 原因分析

pow函數的返回值爲double型，因浮點數長度問題，存在截斷誤差。

3 解決方法

將變量定義爲double型

有沒有更快求冪的方法？

4 快速冪講解

 假設我們要求a^b，按照樸素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間複雜度是O(b)，即是O(n)級別。但快速冪能做到O(logn)的複雜度。

快速冪：

對於二進制的位運算，我們需要用到 "&" 與 ">>" 運算符，詳見位運算符的應用

先上實現快速冪運算的具體代碼：

long long ksm(long long a, long long b) {
    long long ans = 1, base = a;
    while(b != 0) {
	if(b & 1 != 0) {
	    ans *= base;
	}
	base *= base;
	b >>= 1;
    }
    return ans;
}

其中“b & 1”指取b的二進制數的最末位，如11的二進制數爲1011，第一次循環，取的是最右邊的“1” ，以此類推。

而“b >>= 1”等效於b = b >> 1，即右移1位，刪去最低位。

以a^11爲例：

b的二進制數爲1011，二進制從右向左算，但乘出來的順序是，是從左向右的。我們不斷的讓目的是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

要理解這一步：因爲 == ，下一步再乘，就是() * () == ，然後同理() * () == ，由此可以做到→ → → → → .......指數正好是  。再看上面的例子， = ，這三項就可以完美解決了，快速冪就是這樣。

如還有不明白的地方，建議手動模擬代碼的運行過程。

5 快速乘講解

我們知道，在計算機中做加法運算會比乘法快得多（參考模電中的加法器），做乘法運算往往會溢出，即使用long long類型也拯救不了。因此需要尋找一種能高效完成乘法運算且不會溢出的算法，這就是快速乘算法。

快速乘與快速冪原理相似，也是將運算轉換爲二進制處理：

以a * 11爲例：  

就是把快速冪中的 * 號改爲＋號

long long ksc(long long a, long long b) {
    long long ans = 0;
    while(b != 0) {
	if(b & 1 != 0) {
	    ans += a;
	}
	a += a;
	b >>= 1;
    }
    return ans;
}

此版本的複雜度和快速冪一樣，也是O(logn)。如果需要特別卡常數，可以去了解O(1)版本的快速乘。

6 完整代碼

爲了防止溢出，一般快速冪和快速乘的算法會在mod下運用，下面給出取模運算代碼。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e7;

//a ^ b
ll ksm(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1, base = a;
    while(b != 0) {
	if(b & 1 != 0) {
	    ans = (ans * base) % mod;
	}
	base = (base * base) % mod;
	b >>= 1;
    }
    return ans;
}

//a * b
ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while(b != 0) {
	if(b & 1 != 0) {
	    ans = (ans + a) % mod;
	}
	a = (a + a) % mod;
	b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    cout << "5 ^ 3 = " << ksm(5, 3, mod) << endl;
    cout << "345352 * 11 = " << ksc(345352, 11, mod) << endl;
    return 0;
}

 運算結果：

7 References

• https://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html

以上，有問題歡迎指正！