從本質出發理解掌握三大座標系下的三大方程（一）——梯度公式

對於很多數學和工程問題，我們常常需要使用到梯度、散度和旋度公式，而有的時候，雖然在使用這些公式，卻對他們其中的物理意義不甚清楚，這樣的後果是隻能對公式死記硬背，但結果還是常常忘記。這篇文章便從這三大公式的本質入手，推導它們在三大經典座標系下的形式，授以“捕魚”之道！

 

梯度公式

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       開始之前，我們先來回憶一下梯度公式的數學意義，它描述了函數在某點函數值增加最快的方向，它的模就等於函數在該點方向導數的最大值。用直觀的解釋就是，假設你現在位於一座山上，則這一點的梯度是在該點坡度（或者說斜度）最陡的方向，梯度的大小告訴我們坡度到底有多陡。

那麼爲什麼梯度的方向就是函數增加最大的方向呢？證明過程十分簡單：
       如果$f(x,y,z)$在點$P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$可微，則函數在該點任意方向的$e_{l}$的方向導數爲$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\alpha + f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\beta + f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})cos\gamma$，其中$cos\alpha、cos\beta、cos\gamma$爲$l$的方向餘弦。
       我們把上式看成兩個向量點積的形式，則變爲$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_{0},y_{0},z_{0})}=(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )\cdot(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma))$
又因爲$|(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)|=1$，所以，上面那個方向導數的最大值就是$|(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )|$。要取得該最大值，就是將$l$的方向取成向量$(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )$的方向，而$(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}) )$恰恰是該點處梯度的方向，至此，我們便證明了梯度的方向就是函數值增加最大的方向。

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笛卡爾座標系下的梯度公式

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       在上面的推導過程中，我們已經得到了在笛卡爾座標系下的梯度公式：$\bigtriangledown f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$

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柱面座標系下的梯度公式

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       柱面座標系也是正交座標系，可以看成是笛卡爾座標系在空間重旋轉了一個角度得到的，根據笛卡爾座標系下梯度公式的推導，我們可以很自然地想到柱面座標系下的梯度就是$f(x,y,z)$在$\vec{e_{r}}、\vec{e_{\theta}}、\vec{e_{z}}$方向的偏導數組成的向量，也就是$(f_{\vec{e_{r}}},f_{\vec{e_{\theta}}},f_{\vec{e_{z}}})$，接下來，我們只需推導這三個偏導數即可。
$f_{\vec{e_{r}}} = \lim_{\bigtriangleup r->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r+\bigtriangleup r - r}=\frac{\partial f}{\partial r}$
$f_{\vec{e_{\theta}}} = \lim_{\bigtriangleup \theta->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r(\theta+\bigtriangleup\theta) -r\theta}=\frac{\partial f}{r\partial \theta}$
$f_{\vec{e_{z}}} = \lim_{\bigtriangleup z->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{z+\bigtriangleup z - z}=\frac{\partial f}{\partial z}$
於是，我們便得到了柱面座標下的梯度公式：$\bigtriangledown f(r,\theta,z)=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{\partial f}{r\partial \theta}\vec{r_\theta}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}$
說明：梯度終究是一個由位移的偏導數組成的量，但是對$\theta$的偏導數並不是一個對位移的偏導數，所以其最後轉化成了弧長！

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球面座標系下的梯度公式

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       如果你能搞懂柱面座標下的梯度公式是怎麼來的話，球面座標系下的梯度公式也不在話下了。
$f_{\vec{e_{r}}} = \lim_{\bigtriangleup r->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r+\bigtriangleup r - r}=\frac{\partial f}{\partial r}$
$f_{\vec{e_{\theta}}} = \lim_{\bigtriangleup \theta->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{r(\theta+\bigtriangleup\theta) -r\theta}=\frac{\partial f}{r\partial \theta}$
$f_{\vec{e_{\phi}}} = \lim_{\bigtriangleup \phi->0}\frac{f+\bigtriangleup f - f}{rsin\theta(\phi+\bigtriangleup \phi) - rsin\theta\phi}=\frac{\partial f}{rsin\theta\partial \phi}$
這樣，我們也就得到了球面座標系下的梯度公式：
$\bigtriangledown f(r,\theta,\phi)=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e_r}+\frac{\partial f}{r\partial \theta}\vec{r_\theta}+\frac{\partial f}{rsin\theta\partial \phi}\vec{e_\phi}$

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