【數論】關於斯特林數

本文僅爲涉及與斯特林數有關的公式，本無詳細證明；

斯特林數

$s(n,m)=s(n-1,m-1)+(n-1)*s(n-1,m)$
第一類斯特林數，表示n個可區分元素劃分成m個圓排列的方案數。
$S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m)$
第二類斯特林數，表示n個可區分元素劃分成m個子集的方案數。

相關公式

$n^m=\sum_{k=0}^n S(m,k)C_n^kk! =\sum_{k=0}^n S(m,k)n^{\underline k}$
$\sum_{i=1}^n i^m=\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i S(m,k)C_i^kk!=\sum_{k=0}^nS(m,k)k! \sum_{i=k}^nC_i^k=\sum_{k=0}^nS(m,k)k!C_{n+1}^{k+1}$

斯特林反演

$f(n)=\sum_{i=0}^nS(n,i)g(i) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^ns(n,i)(-1)^{n-i}f(i)$

快速求某一行

$S(n,m)=\frac{1}{m!}*\sum_{i=0}^m i^n C_m^i (-1)^{m-i}$
顯然的這個是一個卷積式。
$\prod_{i=0}^n(x-i)$
還記得這個嗎，第一類斯特林數就是這東西的係數