矩陣的初等變換與線性方程組

矩陣的初等變換

1. 以下三種變換稱爲矩陣的初等行變換：
   
   1. 對調兩行（對調第i,j$i,j$ 兩行，記作ri↔rj$r_i\leftrightarrow r_j$ ）；
   2. 以數k(≠0)$k(\ne 0)$ 乘以某一行中的所有元素（第i$i$ 行乘以數k$k$ ，記作ri×k$r_i\times k$ ）；
   3. 把某一行所有元素的k$k$ 倍加到另一行對應的元素上（第j$j$ 行的k$k$ 倍加到第i$i$ 行上，記作ri+krj$r_i+k{r}_j$ ）
      把定義中的“行”換成“列”即得矩陣的初等列變換(所用記號是把“r$r$ ”換成”c$c$ ”).矩陣的初等行變換與初等列變換統稱爲初等變換.矩陣的初等變換都是可逆的，上述三種初等行變換的逆變換分別爲rj←ri，ri×1k，ri+(−k)rj.$r_j\leftarrow r_i，r_i\times \frac{1}{k}，r_i+(-k)r_j.$
2. 如果矩陣A$A$ 經有限次初等行變換變成矩陣B$B$ ，則稱矩陣A$A$ 與B$B$ 行等價，記作A∼rB$A\stackrel{r}{\sim }B$ ；如果矩陣A$A$ 經過有限次初等列變換變成矩陣B$B$ ，則稱矩陣A$A$ 與B$B$ 列等價，記作A∼cB$A\stackrel{c}{\sim }B$ ；如果矩陣A$A$ 經有限次初等變換變成矩陣B$B$ ，稱矩陣A$A$ 與B$B$ 等價，記作A∼B$A\sim B$
3. 矩陣之間的等價關係具有下列性質：
   
   1. 反身性：A∼A$A\sim A$ ；
   2. 對稱性：若A∼B$A\sim B$ ，則B∼A$B\sim A$ ；
   3. 傳遞性：若A∼B，B∼C，則A∼C.$A\sim B，B\sim C，則A\sim C.$
4. 矩陣⎛⎝⎜⎜⎜⎜10003−700−21004−100⎞⎠⎟⎟⎟⎟$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& -2& 4\\ 0& -7& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ 稱爲行階梯形矩陣.其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全爲零，每個階梯只有一行，階梯數即是非零行的行數，非零行的首位元素是非零數.
5. ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜10000100−117−17002571700⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{11}{7}& \frac{25}{7}\\ 0& 1& -\frac{1}{7}& \frac{1}{7}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ 稱爲行最簡形矩陣.其特點是：在行階梯形矩陣中非零行的首位元素爲1，且其所在列其他元素全爲零
6. 對於任一矩陣Am×n，$A_{m\times n}，$ 總可以經過有限次初等行變換把它變爲行階梯形矩陣和行最簡形矩陣.所以，要解線性方程組只需把線性方程組的增廣矩陣化爲行最簡形矩陣.
7. 對行最簡形矩陣再施以初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣，如
   B→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜10000100−117−17002571700⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟→⎛⎝⎜⎜⎜⎜1000010000000000⎞⎠⎟⎟⎟⎟=F.$$B\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{11}{7}& \frac{25}{7}\\ 0& 1& -\frac{1}{7}& \frac{1}{7}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=F.$$
   矩陣F$F$ 稱爲B$B$ 的標準形.其特點是：F$F$ 的左上角是一個單位陣，其餘元素全爲零.一般地，對於m×n$m\times n$ 矩陣Am×n$A_{m\times n}$ ，總可以經過初等變換把它化爲標準形F=(ErOOO)m×n.$F={\left(\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right)}_{m\times n}.$ 此標準形由m,n,r$m,n,r$ 三個數完全確定，其中r$r$ 就是行階梯形矩陣中非零行的行數.所有與Am×n$A_{m\times n}$ 等價的矩陣組成的一個集合稱爲一個等價類，標準形F$F$ 便是這個等價類中形狀最簡單的矩陣

初等矩陣

1. 對單位矩陣E$E$ 施行一次初等變換得到的矩陣稱爲初等矩陣
2. 三種初等變換對應三種初等矩陣：
   
   1. 對調兩行或兩列：將單位矩陣E$E$ 的第i$i$ 行（列）與第j$j$ 行（列）互換，記爲E(i,j)$E(i,j)$ ，即
      E(i,j)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1...0...1......1...0...0⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.$$E(i,j)=\left(\begin{array}{c}1\\ & ...\\ & & 0& ...& 1\\ & & ...& & ...\\ & & 1& ...& 0\\ & & & & & ...\\ & & & & & & 0\end{array}\right).$$
      設矩陣A$A$ 是m×n$m\times n$ 矩陣，可以驗證：以一m$m$ 階初等矩陣Em(i,j)$E_m(i,j)$ 左乘矩陣A$A$ 其結果相當於對矩陣A$A$ 施行第一種初等行變換(ri→rj)$(r_i\to r_j)$ ，以一n$n$ 階初等矩陣，En(i,j)$E_n(i,j)$ 右乘矩陣A$A$ 其結果相當於對矩陣A$A$ 施行第一種初等列變換(ci→cj)$(c_i\to c_j)$
   2. 以數k(\not= 0)乘以某行或某列：將單位矩陣E$E$ 的第i$i$ 行（列）乘以數k$k$ ，記爲E(i(k))$E(i(k))$ ，即
      E(i(k))=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜1...k...1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟.$$E(i(k))=\left(\begin{array}{c}1\\ & ...\\ & & k\\ & & & ...\\ & & & & 1\end{array}\right).$$
      可以驗證：以Em(i(k))$E_m(i(k))$ 左乘矩陣A$A$ ，其結果相當於以數k$k$ 乘以A$A$ 的第i$i$ 行(ri×k)$(r_i\times k)$ ；以En(i(k))$E_n(i(k))$ 右乘矩陣A$A$ ，其結果相當於以數k$k$ 乘以A$A$ 的第i$i$ 列(ci×k)$(c_i\times k)$
   3. 以數k$k$ 乘以某行（列）加到另一行（列）上：以數k$k$ 乘以單位矩陣E$E$ 的第j$j$ 行加到其第i$i$ 行上，記爲E(ij(k)),$E(ij(k)),$ 即
      E(ij(k))=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1...1......k...1...1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.$$E(ij(k))=\left(\begin{array}{c}1\\ & ...\\ & & 1& ...& k\\ & & & ...& ...\\ & & & & 1\\ & & & & & ...\\ & & & & & & 1\end{array}\right).$$
      可以驗證：以Em(ij(k))$E_m(ij(k))$ 左乘矩陣A$A$ ，其結果相當於把A$A$ 的第j$j$ 行乘以k$k$ 加到第i$i$ 行上(ri+krj)$(r_i+k{r}_j)$ ；以En(ij(k))$E_n(ij(k))$ 右乘矩陣A$A$ ，其結果相當於把A$A$ 的第i$i$ 列乘以k$k$ 加到第j$j$ 列上(cj+kci).$(c_j+k{c}_i).$
3. 設A$A$ 是一個m×n$m\times n$ 矩陣，對A$A$ 施行一次初等行變換，相當於在A$A$ 的左邊乘以相應的m$m$ 階初等矩陣；對A$A$ 施行一次初等列變換相當於在A$A$ 的右邊乘以相應的n$n$ 階初等矩陣.
   由初等變換的可逆性知，初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣是同類型的初等矩陣
   E(i,j)−1=E(i,j)，E(i(k))−1=E(i(1k))，E(ij(k))−1=E(ij(−k))$$E(i,j{)}_{-1}=E(i,j)，E(i(k){)}^{-1}=E(i(\frac{1}{k}))，E(ij(k){)}^{-1}=E(ij(-k))$$
4. 方陣A$A$ 可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣P1,P2,...,Pl，$P_1,P_2,...,P_l，$ 使A=P1P2...Pl$A=P_1{P}_2...P_l$
5. 方陣A$A$ 可逆的充分必要條件是A∼rE$A\stackrel{r}{\sim }E$
6. 設A,B$A,B$ 都是m×n$m\times n$ 矩陣，矩陣A$A$ 與B$B$ 等價的充分必要條件是存在m$m$ 階可逆矩陣P$P$ 及n$n$ 階可逆矩陣Q$Q$ ，使PAQ=B$PAQ=B$

矩陣的秩

1. 在m×n$m\times n$ 矩陣A$A$ 中，任取k$k$ 行k$k$ 列(1≤k≤m,1≤k≤n)$(1\le k\le m,1\le k\le n)$ ，位於這些行列交叉處的k2$k^2$ 個元素，不改變它們在A$A$ 中所處的位置而構成的k$k$ 階行列式，稱爲矩陣A$A$ 的一個k$k$ 階子式.一個m×n$m\times n$ 矩陣A$A$ 共有Ckm⋅Ckn$C_m^k\cdot C_n^k$ 個k$k$ 階子式
2. 設矩陣A$A$ 爲m×n$m\times n$ 矩陣，如果存在一個r$r$ 階子式不爲零，且所有的r+1$r+1$ 階子式（如果存在）全爲零，則稱r$r$ 爲矩陣A$A$ 的秩，記作R(A)$R(A)$ ，即R(A)=r$R(A)=r$ .（零矩陣的秩等於0）.矩陣A$A$ 的秩就是A$A$ 中不等於零的子式的最高階數
3. 由於n$n$ 階方陣A$A$ ，當|A|≠0$|A|\ne 0$ 時，R(A)=n；$R(A)=n；$ 當|A|=0$|A|=0$ 時，R(A)<n$R(A)<n$ .可見，可逆矩陣的秩等於矩陣的階數.因此，可逆矩陣又稱滿秩矩陣；不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱降秩矩陣
4. 若A∼B$A\sim B$ ，則R(A)=R(B)$R(A)=R(B)$
5. 矩陣秩的基本性質：
   
   1. 設矩陣A$A$ 是m×n$m\times n$ 矩陣，則0≤R(A)≤min{m,n}$0\le R(A)\le min\{m,n\}$ ；
   2. R(AT)=R(A)$R(A^T)=R(A)$ ；
   3. 若A∼B$A\sim B$ ，則R(A)=R(B)$R(A)=R(B)$ ；
   4. 若P，Q$P，Q$ 可逆，則R(PAQ)=R(A)$R(PAQ)=R(A)$ ；
   5. max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)$max\{R(A),R(B)\}\le R(A,B)\le R(A)+R(B)$ ；
      特別地，當B=b$B=b$ 爲列向量時，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1$R(A)\le R(A,b)\le R(A)+1$ .
   6. R(A+B)≤R(A)+R(B)$R(A+B)\le R(A)+R(B)$ ；
   7. R(AB)≤min{R(A),R(B)}$R(AB)\le min\{R(A),R(B)\}$ ；
   8. 若Am×nBn×l=0$A_{m\times n}{B}_{n\times l}=0$ ，則R(A)+R(B)≤n$R(A)+R(B)\le n$ ；

線性方程組的解

1. n$n$ 元線性方程組Ax=b$Ax=b$ ：
   
   1. 無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b)$R(A)<R(A,b)$ ；
   2. 有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n$R(A)=R(A,b)=n$ ；
   3. 有無窮多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n$R(A)=R(A,b)<n$ ；
2. n$n$ 元齊次線性方程組Ax=0$Ax=0$ ：
   
   1. 只有零解的充分必要條件是R(A)=n$R(A)=n$ ；
   2. 有非零解的充分必要條件是R(A)<n$R(A)<n$ ；
3. 矩陣方程AX=B$AX=B$ 有解的充分必要條件是R(A)=R(A,B)$R(A)=R(A,B)$ .
4. 設AB=C$AB=C$ ，則R(C)≤min{R(A),R(B)}$R(C)\le min\{R(A),R(B)\}$ .
5. 矩陣方程Am×nXn×l=0$A_{m\times n}{X}_{n\times l}=0$ 只有零解的充分必要條件是R(A)=n.$R(A)=n.$