斐波那契數列及其對數時間算法

斐波那契數列及其對數時間算法

前些天做IEEE校內算法賽的時候，遇到了一道關於斐波那契數列的題，要求是對數時間；今天在牛課網上刷leetcode,看到爬樓梯問題，於是在網上搜索了一下，自己參考並總結了下斐波那契數列及其算法。主要參考了知乎這個問題下的回答最高贊回答。
斐波那契數列大家應該都很熟悉：0 1 1 2 3 5 8… ,遞推公式如下：
f(n)={f(n−1)+f(n−2)if2≤n;f(0)=0,f(1)=1else.$f(n)=\{\begin{array}{l}f(n-1)+f(n-2)if2\le n;\\ f(0)=0,f(1)=1else.\end{array}$

斐波那契數列的同向可以使用特徵根法或者矩陣的乘積來解決：
f(n)=15√((1+5√2)n−(1−5√2)n).$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n).$
下面介紹利用矩陣快速冪的對數時間的斐波那契數列算法：
首先從遞推公式我們很容易得到：
[f(n+1)f(n)]=[1110][f(n)f(n−1)]=[1110]n[f(1)f(0)].$\left[\begin{array}{c}f(n+1)\\ f(n)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n\left[\begin{array}{c}f(1)\\ f(0)\end{array}\right].$
不妨設A=[1110]$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ ，那麼我們的目標就是求矩陣A的n次冪。
在介紹矩陣的快速冪算法之前，我們先介紹一下數的快速冪算法，數的快速冪算法一般有遞歸和位運算兩種：

//遞歸版本
int my_power(int x, int n) {
    //n >= 0
    if(n == 0) return 1;
    return n % 2 ? x * my_power(x, n / 2) : my_power(x, n / 2);
}

//位運算版本
int my_power(int x, int n) {
    //n >= 0
    int result = 1;
    while(n) {
        if(n & 1) result *= x;
        x *= x;
        n >>= 1;
    }
    return result;
}

例如求210$2^{10}$ ,10=(1010)(2)$10=(1010{)}_{(2)}$ ，分二進制位上爲1和爲0兩種情況討論。
所以可以用同樣的方法求矩陣的冪，我們聲明瞭一個二階矩陣類，只給了矩陣的四個元素、默認構造函數和重載operator*:

//Definition for 2-dimension matrix
struct Matrix {
    /*[m00, m01]
      [m10, m11]*/
    int m00, m01, m10, m11;
    Matrix(int a = 0, int b = 0, int c = 0, int d = 0) :
        m00(a), m01(b), m10(c), m11(d) { }
    Matrix& operator*(const Matrix& rhs) {
        //若要對大數取餘，可以對下面的a，b，c，d取餘運算。
        int a = this->m00 * rhs.m00 + this->m01 * rhs.m10; //% mod
        int b = this->m00 * rhs.m01 + this->m01 * rhs.m11; //% mod
        int c = this->m10 * rhs.m00 + this->m11 * rhs.m10; //% mod
        int d = this->m10 * rhs.m01 + this->m11 * rhs.m11; //% mod
        this->m00 = a; this->m01 = b;
        this->m10 = c; this->m11 = d;
        return *this;
    }
};
/*對數算法，利用矩陣的快速冪*/
Matrix fast_multi(int n) {
    Matrix m(1, 1, 1, 0), result(1, 0, 0, 1);
    while(n) {
        if(n & 1) result = result * m;
         m = m * m;
         n >>= 1;
    }
    return result;
}

因此斐波那契數列的第n項的算法爲：

//這裏沒有考慮int溢出
int Fibonacci(int n) {
    Matrix m = fast_multi(n);
    return m.m10;
}

若斐波那契數列的初值爲f0和f1:

//這裏沒有考慮int溢出
int Fibonacci(int n, int f0, int f1) {
    Matrix m = fast_multi(n);
    return (m.m10 * f1 + m.m11 * f0);
}

最開始說到IEEE校內算法賽的那道題是要求斐波那契數列的前n項和：
Sn=f(n+2)−f(1)；$S_n=f(n+2)-f(1)；$
這個結論用數學歸納法是非常容易證明的。

總結：斐波那契數列在數學中非常重要，它的很多性質我也不懂，只是遇到問題就查資料解決，比如這個對數時間的斐波那契第n項的算法，以後如果遇到其他問題再來補吧！