迴文自動機學習筆記

迴文自動機學習筆記

由兩棵子樹構成

• 一棵節點編號爲0，子樹是長度爲偶數的迴文串
• 一棵節點編號爲1，子樹是長度爲奇數的迴文串

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迴文自動機

奇偶迴文串處理

$len[0] = 0, len[1] = -1$使得在$1$號子樹下的字符串長度$-1$

$fail[0] = 1$使得字符串最終能跳到$-1$，即本身爲迴文串

$fail[1] = 0$使得本身爲迴文串的情況，最小真後綴迴文串爲0成立

迴文樹節點

• 對於$0$號子樹，路徑上的字母表示迴文串後半段
• 以$5$號節點爲例，表示的是baab
• 對於$1$號子樹，路徑上的字母表示迴文串後半段（包括中間字符）
• 以$2$號節點爲例，表示的是$a$

此圖片爲$abbaabba$的迴文樹

建樹

$in[0] = '~'$，爲必定不相同的字符

$fail[]$：表示當前迴文串的最長真後綴迴文串

• 找到最新節點$last$，
• 尋找$last$代表迴文串的前一個點：$in[i - len[last] - 1]$
• 與當前節點（$in[i]$）比較，若相當於在原迴文串兩邊加上一個字符ch
• 創建新的節點且$len[tree[last][ch]] = len[last] + 2$
• 若當前迴文串不匹配，跳$fail$指針尋找最長真後綴迴文子串是否匹配
• 最終至少會跳到$fail[0] == -1$，字符本身必定爲迴文串

$fail$指針建立

尋找一個迴文串的最長真後綴迴文子串

相當於尋找$last$迴文串的最長真後綴迴文子串的匹配迴文串

• 定義一個新變量$j$跳到$fail[last]$
• 如建樹一樣尋找匹配迴文串即可
• 對於以自己爲迴文串的迴文串$fail[1] = 0$，不然至少找到本身

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代碼

$in[]$：字符串

$tree[n][ch]$：字典樹

$fail[]$：$fail$指針跳轉到當前迴文串的** 最長真後綴迴文串**

$len[]$：當前迴文串的長度

初始化

scanf("%s", in + 1); in[0] = '#';
//第一個爲不同字符
fail[0] = 1; fail[1] = 0;
//保證最終跳到本身
len[0] = 0; len[1] = -1;
//易處理處理
last = 0;
//last最新節點置0
num = 1;
//字典樹編號，已有2個節點：0，1

建樹

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	while (in[i - len[last] - 1] != in[i]) last = fail[last];
	//跳到第一個匹配的串
	if (!tree[last][in[i] - 'a']) {//若改字符串不存在
		len[++num] = len[last] + 2;//新的迴文串爲原迴文串+2
		int j = fail[last];//當前串的最長真後綴迴文串
		while (in[i - len[j] - 1] != in[i]) j = fail[j];
		//最長真後綴迴文串的第一個匹配串
		fail[num] = tree[j][in[i] - 'a'];
		tree[last][in[i] - 'a'] = num;
		//字典樹編號
	}
	last = tree[last][in[i] - 'a'];
	//更新last
}

模板題

P5496 迴文自動機（PAM）

P4287 雙倍迴文

正反向建兩個迴文自動機