線性代數全記錄

學習線性代數慕課（北航 李尚志）課程的記錄

線性方程組

線性代數中的矩陣變換實際上是可以與線性方程組的係數變換相對應。並且線性代數實際上是多元一次函數或多元一次方程組，其有效的工具是矩陣，方法是矩陣變換和矩陣相乘。

線性代數概覽

數學的重要主題：方程和函數。
微積分：把非線性變成線性。
線性代數：一次方程組+一次函數組。

• 簡。次數只有一次。
• 少。運算只有兩種 矩陣變換和矩陣相乘。

數列求和引出行列式

• 爲什麼學習線性方程組。
• 怎樣解三角形方程組。求解時，目標化爲三角形方程組，這樣才能得出解。
• 不是三角形方程組，通解變形爲三角形方程組。

方程組的同解變形

方程組的通解變形是與線性代數的矩陣的初等行變換一一對應。

• 方程組基本通解變形
  
• 線性方程組和線性代數的變換對比。
  
• 矩陣的初等行變換。
  
  

解集的初步討論

存在唯一解，無窮解，無解，多解情況。

線性無關和線性相關

不共面決定唯一解

對於三個向量而言。

判斷三個向量是否共面，不共面則一定有唯一解。

係數均爲0表明三個向量不共面。

數組向量的線性無關

線性無關：對於三維來說是不共面，對於二維來說是不共線。
線性方程組的係數線性無關則一定有唯一解。上面不共面的推廣。

n數組向量空間

• 線性無關與線性有關的定義。
  
  線性相關可以有多解，線性無關只有唯一解。

• 可以比較維數和向量個數，來確定是否線性無關。因爲n維空間中的線性無關向量不超過n個，所以如果個數m大於n個，則一定線性有關。
  

• 基於座標的概念。
  

行列式

行列式判斷線性無關

係數的行列式值大於0,則線性無關。

幾何性質決定代數算法

二階行列式實際上是求兩個向量組成的四邊形的面積。

行列式的初等變換