關於線段樹合併的複雜度證明

因爲感覺網上的都怪怪的，所以自己yy了一下。。

假設樹上點數是$O(n)$，每個點上有一些權值。每個點的權值個數之和是$O(m)$，線段樹是對權值建的。

考慮一個線段樹上的區間$[l,r]$
在合併的時候，只有當兩個線段樹在這個區間內都有點，這個區間纔會貢獻 1 的複雜度。
而考慮這個區間內的權值在原樹上的分佈，假設原樹上共有$k$個點含有這個區間內的權值，容易發現最多有$k-1$次合併在兩棵線段樹會同時存在這個區間內的權值。（因爲是樹形合併）。那麼這個區間總共會貢獻$O(k)$的複雜度。

然後考慮在線段樹中同一層的所有區間，它們對複雜度的貢獻是
$O(\sum_{某個區間} 樹上包含這個區間內的權值的點數)$
$\le O(\sum_{某個權值}樹上包含這個權值的點數)=O(m)$

而線段樹總共有$\log m$層，所以複雜度是小於$O(m\log m)$的。

而在一般的問題中，每個點通常只包含一個權值並且互不相同（$m=n$），所以$O(\sum_{某個區間}樹上包含這個區間內的權值的點數)=O(\sum_{某個區間}區間大小)=O(n)$，於是複雜度爲$O(n\log n)$

由此也可以見得，如果每個點都有$O(n)$個權值，那麼複雜度將會是$O(n^2+\frac {n^2}2+\frac {n^2}4+\frac {n^2}n)=O(n^2)$