算法筆記（1）
1. 並查集
並查集，在一些有N個元素的集合應用問題中，我們通常是在開始時讓每個元素構成一個單元素的集合，然後按一定順序將屬於同一組的元素所在的集合合併，其間要反覆查找一個元素在哪個集合中。並查集是一種樹型的數據結構，用於處理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合併及查詢問題。常常在使用中以森林來表示。
主要有兩種操作：
- **合併（union）：**把兩個不相交的集合合併爲一個集合。
- **查詢（find）：**查詢兩個元素是否在同一個集合中。
並查集的引入：
並查集的重要思想在於，用集合中的一個元素代表集合。有一個有趣的比喻，把集合比喻成幫派，而代表元素則是幫主。接下來用這個比喻，看看並查集是如何運作的。
最開始，所有大俠各自爲戰。他們各自的幫助自然就是自己。（對於只有一個元素的集合，代表元素自然是唯一的那個元素）。
現在1號和3號比武，假設1號贏了（這裏具體是誰贏的不重要），那麼3號就認1號做幫主（合併1號和3號所在的集合，1號爲代表元素）
現在2號想和3號比武（合併3號和2號所在的集合），但3號表示，別跟我打，讓我幫主來收拾你（合併代表元素）。不妨設這次又是1號贏了，那麼2號也認1號做幫主。
現在我們假設4，5，6號也進行了一番幫派合併，江湖局勢變成下面這樣：
現在假設2號想和6號比，和剛纔說的一樣，喊幫主1號和4號出來打一架。1號戰勝後，4號認1號爲幫主，當然他的手下也都是跟着投降了。
好了，比喻結束了。如果你有一點圖論基礎，相信你已經覺察到，這是一個樹狀的結構，要尋找集合的代表元素，只需要一層一層往上訪問父節點（圖中箭頭所指的圓），直達樹的根節點（圖中橙色的圓）即可。根節點的父節點是它自己。我們可以直接把它畫成一棵樹：
用這種方法，我們可以寫出最簡單的並查集代碼。
初始化
public void init(int n){
for(int i = 0;i<=n;i++){
fa[i] = i;
}
}
假如有編號1，2，3，…，n的n個元素，我們用一個數組fa[]來存儲每個元素的父節點（因爲每個元素有且只有一個父節點，所以這樣是可行的）。一開始，我們先將它們的父節點設爲自己。
查詢
public int find(int index) {
while(fa[index] != index){
index = fa[index];
}
return index;
}
要判斷兩個元素是否屬於一個集合，只需要看它們的根節點是否相同即可。
合併
public void union(int i,int j){
fa[find(i)]=find[j];
}
合併操作也很簡單，先找到兩個集合的代表元素，然後將前者的父節點設爲後者即可。當然也可以將後者的父節點設爲前者。
2. 路徑壓縮
最簡單的並查集效率是比較低的。例如，看下面的這個場景：
現在我們想要union(2,3)，於是從2找到1，fa[1]=3，於是變成了這樣：
然後我們又找來了一個元素4，並需要執行union(2,4)：
從2找到1，再找到3，然後fa[3]=4，於是變成了這樣：
這樣可能會形成一條長長的鏈，隨着鏈越來越長，我們想要從底部找到根節點會變得越來越難。
我們就可以使用路徑壓縮的方法。既然我們只關心一個元素對應的根節點，那我們希望每個元素到根節點的路徑儘可能的短，最好只需要一步，像這樣：
只要我們在查詢的過程中，把沿途的每個節點的父節點都設爲根節點即可。
合併（路徑壓縮）
public int find(int x){
if(x==fa[x])
return x;
else{
fa[x]=find(fa[x]);//父節點設爲根節點
return fa[x];//返回父節點
}
}