向量：
向量究竟是什麼？在線性代數中，最根源最基本的就是向量，在不同行業不同場景中，向量的解釋是不一樣的。
在物理學中，向量可以看成空間中的箭頭，有大小和方向，例如，用來表示作用力，速度等，向量只有大小和方向，可以任意移動，沒有位置。在三維空間中，如下圖一樣：
在計算機專業，向量就是數組，或者可以理解爲數字列表，例如：房屋面積和房屋價格一起組成的表，電腦品牌，型號，cpu配置，顯卡配置等組成的表。這樣的表中的一組就可以理解爲一個向量。只不過參數（列）越多，向量維度越高。
在數學界，向量可以使任何東西，只要保證兩個向量相加和向量相乘是有意義的就可以了，如下：
幾何角度的思考：
在從集合角度說明向量的時候，想到向量，實際就是一個箭頭，這個箭頭在一個座標系中，箭頭的起點在原點，終點在向量尖端所指向的地方。這很容易想象出來，如下圖，在二維直角座標系中像這樣：
根據高中所學的知識，這樣的向量的第一個數就代表了這個向量在X方向移動的單位個數，第二個數代表了向量在Y方向移動的單位個數，正數代表向右移動，負數代表向左移動。這裏的單位個數中的單位可以使任意的，例如米（m）。爲了與點的表示形式區分，向量的多個數通常豎着寫，並使用中括號包含。
在上圖的二維直角座標系中，每一個二元數組數都能代表一個向量，同樣的，每個向量敲好也是對應兩個數字，延伸到三維空間，向量就是與一個有序的三元數組對應。同樣的，第一個數代表向X軸走多遠，第二個數代表向Y軸走多遠，第三個數代表向Z軸走多遠，如下圖：
數學定義向量只要相加和相乘有意義即可，實際上，線性代數中每個主題都是圍繞這兩種運算展開的，好在這兩個運算的定義都非常簡單。
向量相加：
兩個向量相加，實際將之一一對應的元素相加即可得到結果，在幾何中，向量相加即是代表合成。運動的合成是很典型的例子。如果細化到向量的每個元素，兩個向量相加在二維中可以看成兩次沿着X軸移動，兩次沿着Y軸移動，其結果顯然一樣，如下圖：
向量數乘：
向量數乘就是一個標量乘以一個向量，得到的結果還是向量，這在幾何上可以理解爲向量的放大縮小操作，這個標量大於1就是放大，小於1即縮小。實際上，標量在線性代數中的作用就是用來做縮放操作的。
總結：
相對於線性代數和變換矩陣的運算，向量是極其簡單的，在幾何上也非常好理解，不再做過多的介紹。
張成空間與基：
在我們描述向量時，通常是使用一組數字來描述，例如（3，-2），我們怎麼看待這兩個數字呢？我們容易想象這兩個數字在二維直角座標系下的樣子，知道這個箭頭尖端是向X軸走三步，向Y軸走-2步到達的（特別注意，我們這樣理解完全是建立在一個二維直角座標系下的）。實際上，3和-2都是標量，在幾何上，我們可以按以下方式理解：
二維直角座標系建立必須要XY兩個軸，除此之外還必須定義每個軸上的單位長度。例如，我們將每一米長度作爲單位長度，那麼，（3，-2）代表向X軸走三米，向Y負方向走兩米。這個單位長度的定義就是爲了確定每個軸的單位向量的，單位向量是特殊的向量。在上面二維直角座標系中，（1，0）和（0，1）就是XY軸的單位向量，（3，-2）表示爲如下圖：
從幾何上看，在二維直角座標系中，任意向量都可以表示成將i，j兩個向量進行縮放操作後的和。
縮放向量並相加這一概念至關重要，因爲上面僅僅是二維直角座標系，還有非直角座標系，甚至三維非直角座標系。此外，上面的 i，j 兩個向量稱之爲基向量（與單位向量有區別）。這兩個基向量組合一起稱爲此座標系的基。
從上面，當我們將向量的數字看做標量時，實際上就代表對對應基向量做的縮放操作的倍數，如下圖：
那麼問題來了，似乎我們研究的幾何知識僅僅是在二維直角座標系或者三維直角座標系下進行的，原因僅僅是我們所熟悉的空間就是如此，然而，線性代數卻並非止步於這樣的空間。在介紹張成空間之前，先了解下空間的種類與定義
空間：
空間這個概念是現代數學的基礎之一，從拓撲空間開始，逐步添加規則可形成很多種類的空間，線性空間是比較初級的部分：
線性空間裏面定義範數形成賦範線性空間。
賦範線性空間滿足完備性形成巴那赫空間。
賦範線性空間中定義角度形成內積空間。
內積空間滿足完備性形成希爾博空間。
……
我們一般所熟知的空間就是生活中的三維空間（實際三維空間並非我們理解的那樣，我們理解的是牛頓的絕對時空觀），在數學上，絕對時空就是一個三維的歐幾里得空間，空間有無窮多的位置，有定義長度，角度。
張成空間與基：
上面，我們選擇了（1，0）和（0，1）作爲基向量，如果我們選擇的不是這兩個呢？會出現什麼情況。例如，我們選擇（1，2）和（3，-1）作爲基向量，在這兩個基向量形成的基（可理解爲座標系）下，（1.5，0.6）這個向量是什麼樣子的呢？如下圖：
我們可以很直觀的發現，（1.5，0.6）這個向量在原來的座標系下，大約等於（3.3，2.4）的樣子，發生了本質改變。當我們任意選擇（1.5，0.6）這兩個標量時，我們可以得到這個基下面的所有的二維向量，如下圖：
基於以上，實際上就是爲了說明，當我們用標量（數字）描述向量的時候，實際上是建立在基上面的，在不同基中，同樣的一組標量所代表的向量是不一樣的。通過基向量，可以得到這個空間下的任意向量。
然而，線性一詞是什麼意思呢？在我看來，可以理解爲規則的，絕對的，與愛因斯坦的相對空間以及其他的區別。如同3Blue1Brone理解的那樣，在座標系中表現爲只改變一組標量的其中一個值，得到的是一條直線，而現實中的空間，考慮相對論，卻並非如此。如下圖：
有一種特殊情況，在二維中，如果我們定義的兩個基處於同一條直線上，那麼通過這兩個基得到的線性組合也會被限制在這一條直線上，很好理解。此外，如果兩個基向量都爲零向量，那麼他們的線性組合就會被限制在一個點上。
一個基的張成空間就是這個基的所有基向量的所有線性變換得到的向量的集合，實際就是這個基的所有向量集合，他代表了這個基線性組合能夠達到的最大範圍，在數學上，這個範圍可以是任意的，不一定是幾何上的空間。
我們通常會把向量看做箭頭，在實際使用中，我們會把向量看做一個點，這也很好理解，相當於我們從原點只想這個點的箭頭就代表這個向量。
因此，把之前說的張成空間裏面所有的向量抽象化成點後，在幾何上，就代表了實際的線性空間。即可以代表無限大的二維平面本身，無限大的三維空間本身。而，如果一個基中存在共線的基向量，那麼這個空間就會被侷限。
延伸到三維空間，三個基中（假設不存在共線或零向量情況），任意兩個基變化形成的空間就是一個平面，也就是這兩個向量的張成空間，三個向量都變化得到的就是整個空間了，如下圖：
上面談論的是基向量不存在共線等特殊情況，如果特殊呢？就會存在一個基向量沒有對張成空間做任何貢獻，這種情況，我們稱之爲線性相關，而如果不特殊情況，所有基向量都會爲這個基增加緯度，則稱之爲線性無關，結合之前討論的線性一詞，這比較好理解。
總結：
現在來看這些名詞，結合幾何直觀，就會有比較深的理解：
向量空間的一組基是張成該空間的一個線性無關向量集。
參考資料：