【數&C++】圖解二叉搜索樹&平衡二叉搜索樹（AVL樹）

1. 二叉搜索樹

1.1 概念

• 二叉搜索樹的概念：二叉搜索樹又稱二叉排序樹，或者是一棵空樹，或者是具有以下性質的二叉樹:
  • 若它的左子樹不爲空，則左子樹上所有節點的值都小於根節點的值；
  • 若它的右子樹不爲空，則右子樹上所有節點的值都大於根節點的值；
  • 它的左右子樹也分別爲二叉搜索樹。
    

1.2 基本操作

1.2.1 查找

• 如下圖
  

1.2.2 插入

• 樹爲空，則直接插入，返回ture；
• 樹不爲空，按二叉樹搜索樹的性質查找插入位置，插入新節點。
  

1.2.3 刪除

• 二叉搜索樹刪除元素，先查找元素是否在搜索樹中，若不存在則返回，若存在有以下四種情況：
  • 要刪除的節點無孩子；
  • 要刪除的節點只有左孩子節點；
  • 要刪除的節點只有右孩子節點；
  • 刪除的節點有左、右孩子節點。
    
    

3. 特殊情況

• 最優情況下，二叉搜索樹爲完全二叉樹，其平均比較次數爲： log2^N；
• 最差情況下，二叉搜索樹退化爲單支樹，其平均比較次數爲： N/2。
  

2. AVL樹

2.1 概念

• 二叉搜索樹雖可以縮短查找的效率，但如果數據有序或接近有序二叉搜索樹將退化爲單支樹O(n)（兩種極端情況），查找元素相當於在順序表中搜索元素，效率低下；
• 當向二叉搜索樹中插入新結點後，如果能保證每個結點的左右子樹高度之 差的絕對值不超過1，即可降低樹的高度，從而減少平均搜索長度；
• 高度平衡二叉搜索樹（高度差的絕對值不超過1）

2.2 性質

• 一棵AVL樹或者是空樹，或者是具有以下性質的二叉搜索樹：
  • 它的左右子樹都是AVL樹 ；
  • 左右子樹高度之差(簡稱平衡因子)的絕對值不超過1(-1/0/1)，平衡因子=右子樹的高度-左子樹的高度；
    

2.3 基本操作

2.3.1 插入

• AVL樹的插入過程可以分爲兩步： 1. 按照二叉搜索樹的方式插入新節點；2. 調整節點的平衡因子。

【調節平衡因子】

2.3.2 旋轉 — 左單旋

2.3.3 旋轉 — 右單旋

2.3.4 旋轉 — 左右雙旋

2.3.5 旋轉 — 右左雙旋

【小結】

• 假如以pParent爲根的子樹不平衡，即pParent的平衡因子爲2或者-2，分以下情況考慮：
  • pParent的平衡因子爲2，說明pParent的右子樹高，設pParent的右子樹的根爲pSubR；
    • 當pSubR的平衡因子爲1時，執行左單旋；
    • 當pSubR的平衡因子爲-1時，執行右左雙旋。
  • pParent的平衡因子爲-2，說明pParent的左子樹高，設pParent的左子樹的根爲pSubL；
    • 當pSubL的平衡因子爲-1是，執行右單旋；
    • 當pSubL的平衡因子爲1時，執行左右雙旋。
• 旋轉完成後，原pParent爲根的子樹個高度降低，已經平衡，不需要再向上更新。