題目
0,1,n-1這n個數字排成一個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈裏刪除第m個數字。求出這個圓圈裏剩下的最後一個數字。
例如，0、1、2、3、4這5個數字組成一個圓圈，從數字0開始每次刪除第3個數字，則刪除的前4個數字依次是2、0、4、1，因此最後剩下的數字是3。
來源：力扣（LeetCode）
前不久在LeetCode上刷到一個比較有意思的題，一開始準備用數組暴力破解，在思索良久之後放棄了自己天真的想法。網上找了許多方法之後才弄懂了其中的原理，總結爲以下兩種方法：順推法與遞歸法。
這兩種方法看似只是相反的過程，但其中的原理確實不太相同。不過不管黑貓白貓，逮到耗子的就是好貓。
讓我們來分析一下題意：
如下表，在這幾個數之中每次找到第三個數字然後去掉，直到最後一個數字留下來爲止。（注意：每次數三個數字不是又從數字0開始，而是從上一次去掉的數字後面開始）
可以很直觀的看出第三個數字一個一個被去掉，直到最後剩下兩個角逐，花落誰家？答案當然是3。
順推法：顧名思義，其實就是類似於暴力破解，順着思路一步一步做下去。
我們可以藉助ArrayList動態數組實現數字的增加與刪除，在此之前我們所知道的參數也就是n個數字，以及每次要去掉的第m個數字，之後進行的就是初始化數組，然後再一個一個減去就好了。
這裏的問題在於怎麼求出你要去掉的數字，第一次我們減的是2號（這裏是數字2），第二次就要減4號（因爲不夠減呀，輪迴去就是數字1），輪迴去這裏就是一個重要的結點，試分析一手。
第一次我們要去掉的數字下標可以用m-1表示（例子裏是2號），
第二次我們要去掉的數字下標打算用(m-1)+m-1表示（例子裏應該是4號），結果和我們肉眼看出來的不符，因爲已經超過數組長度了，怎麼解決呢？
此時我們引入一個求餘算法，可以回到數組開頭。（業內術語都叫求模）
我查了查對於正數，這兩個概念似乎沒什麼不同，我們暫且這樣俗氣的叫。
餘數嘛，
如果被除數小於除數，那麼商爲0（很簡單的樣子），直接把被除數拿到餘數裏面就好了；
如果被除數大於除數，那麼商爲一個整數，餘數也就可以看作是從零開始數的標號。
這裏就很符合我們開始的思維邏輯了吧。
因此，每次只需要對要求數組長度求餘就好了，
這樣我們的第一次要去掉的數字的標號可以求出來(3-1)%5=2，
那第二次呢，(2+3-1)%4=0，
第三次，(0+3-1)%3=2，
第四次，(2+3-1)%2=0，
第五次不用說，數組只剩一個元素，下標確實爲0。
java代碼如下：
public int Circle1( int n,int m ) {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
for( int i = 0;i < n; i++ ) //數組初始化
list.add(i);
int x = 0; //記錄每次去掉數字的下標
while( n != 1 ) {
x = ( x + m - 1 )%n;
list.remove(x);
n--; //數組長度減一
}
int result = list.get(0); //最後贏家只有一個，所以下標爲0
return result;
}既然我們順着推已經思路明確，雖然有點複雜但終究還是求出來了，那麼有簡單一點的思路嗎？請繼續往下看。
遞歸法：可以用數學方法推導出來，重要的是我們知道一個隱含的關鍵條件：最後一個數字其下標爲0。
所謂遞歸，
就是我們去掉n個數字時的標號m-1，
接下來我們要繼續求n-1個數字的情況，
然後是n-2個數字的情況…
以此類推，
直到剩下1個數字。
如圖：
假設我們已知一個函數 f(1)=0，意思就是最後一次僅剩的數字其標號爲0；
那麼上一個輪迴（倒數第二次）它的標號呢？ f(2)，
沒錯，直到最開始n個數字，那麼最終贏家的標號爲 f(n)，答案不就出來了嗎 。
那麼問題來了，我們怎麼求出 f(2) 甚至是 f(n)呢？
觀察下圖（藍色爲標號，綠色爲輪迴去補上的數字，紅色爲我們要求的數字）
最後一次數字3的標號爲 f(1)=0；
兩個數時，細心的你會發現，上一次標號f(1)往後數m個數字會是f(2)，
（這裏主要是去掉的數字後其後面的數字要進入下一步的話，就需要標號全部往前移動m）
只不過標號需要稍稍變換，即我們所說的求模（因爲超出數組範圍了），那麼則有f(2)=(f(1)+m)%2，答案是1沒有問題；
三個數時，f(3)=(f(2)+m)%3,答案是1沒有問題，後面步驟相同。
那麼可以得到一個函數：
java代碼如下：
public int Circle2( int n,int m ) {
if( n == 1 ) //最後一個數字標號爲0
return 0;
else
return ( Circle2( n-1 , m ) + m ) % n;
}綜上，便是兩種方法的具體過程，
其中比較難懂的還是求模的道理，那個是說要在一個循環的表之中找數，如果超出範圍，則可重新從0開始進行計算；
還有就是對遞歸方法的掌握，觀察法真的不太容易看出來，目前只能出此下策解釋，如果有更好的理解方法大家可以與我討論。