【THUPC2019】令人難以忘記的題目名稱 / game（數論）

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題解：

倒着思考，什麼樣的序列必勝？首先是全0序列，然後是全等序列，然後是差分後是全等序列的。。。以此類推，必勝的序列必然滿足它的某一階差分在 %p 下是全0，且最少的差分次數就是答案。

以下將差分定義爲 $A'_i=A_i-A_{i+1}$，這裏省略了下標的取模，默認 $A$ 是一個循環序列。

首先我們知道一個差分後是數列可以寫成 $A'_i=\sum_{j=0}^t{t\choose j}(-1)^jA_{i+j}$

考慮 $t=p^k$ 的情況，用 Lucas 定理消去爲0的組合數，我們發現這個時候 $A'_i=A_i-A_{i+p^k}$。

假設 $A$ 能夠最終差分爲全$0$，次數爲 $a$，則必然存在某個 $p^k\geq a$，使得差分 $p^k$ 之後序列爲全0，則 $A'_i=0=A_i-A_{i+p^k}$，即 $A_i=A_{i+p^k}$。

我們發現限制容易變成 $A_i=A_{i+\gcd(n,p^k)}$，那麼將 $k$ 變大我們發現最大隻需要考慮 $p^k|n,p^{k+1}\nmid n$，再往上就沒有意義了，這個時候看一下原序列是否滿足條件，滿足則有解，否則無解。

求答案就很簡單了，我們把 $n$ 變爲循環節長度 $p^k$，考慮進行若干次 $p^{k-1}$ 次差分，直到循環節長度變爲 $p^{k-1}$，可以證明覆雜度上界是等比數列求和爲 $O(n,p)$。

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代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

namespace IO{

inline char gc(){
	static cs int Rlen=1<<22|1;static char buf[Rlen],*p1,*p2;
	return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}template<typename T>T get_integer(){
	char c;bool f=false;while(!isdigit(c=gc()))f=c=='-';T x=c^48;
	while(isdigit(c=gc()))x=((x+(x<<2))<<1)+(c^48);return f?-x:x;
}inline int gi(){return get_integer<int>();}

}using namespace IO;

using std::cerr;
using std::cout;

cs int N=3e5+7;

int n,p;

int A[N],B[N];

bool check(int t){
	for(int re i=0;i+t<n;++i)
		if(A[i]!=A[i+t])return false;
	return true;
}

void Main(){
	n=gi(),p=gi();
	for(int re i=0;i<n;++i)
		A[i]=gi()%p;
	int t=1;
	while(n%(t*p)==0)t*=p;
	if(!check(t)){
		puts("-1");
		return ;
	}int ans=0;
	while(t>1){
		n=t;t/=p;
		while(!check(t)){ans+=t;
			for(int re i=0;i<n;++i)
				B[i]=(A[i]-A[(i+t)%n]+p)%p;
			memcpy(A,B,sizeof(int)*n);
		}
	}cout<<ans+!!A[0]<<"\n";
}

inline void file(){
#ifdef zxyoi
	freopen("game.in","r",stdin);
#endif
}signed main(){file();Main();return 0;}