這一節的幾篇，都是解析動態規劃數組類題目，相對於後面的字符串類問題來說，還是比較容易的。
首先來看比較幾個簡單的DP題目，鞏固一下前面所學套路。
64. Minimum Path Sum
Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.
Note: You can only move either down or right at any point in time.
題目解析：
貌似63題的通過率還低些，不過就不解析了，DP框架不變，由於障礙物的關係略微修改邊界和狀態轉移方程。
路徑和還是經常和大家碰面的問題，比如在二叉樹的時候。
這道題仍然不變算法框架，f(i,j)代表到達i,j點時的最小路徑和，然後我們研究f(i,j)和f(i-1,j)，f(i,j-1)之間的關係。對於邊界的定義也略微不同。直接看代碼，此次已優化了空間，這樣寫起來索引也好懂。。
class Solution:
def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
m, n = len(grid), len(grid[0])
dp = [0] * n
# 第一行邊界
dp[0] = grid[0][0]
for i in range(1, n):
dp[i] = dp[i-1] + grid[0][i]
for i in range(1, m):
for j in range(n):
if j == 0: # 第一列邊界
dp[j] += grid[i][j]
else:
# 關係式
dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j]
return dp[n-1]
120. Triangle
Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.
For example, given the following triangle
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).
題目解析：
還是路徑問題，算法框架和狀態轉移方程其實都和上面的差不多啦，不同的是數組每行的數目不同，需額外注意索引和邊界問題。另外對於dp數組的更新比較麻煩，索性用了兩個dp數組。
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
n = len(triangle)
if n == 1:
return triangle[0][0]
if n ==2:
return triangle[0][0] + min(triangle[1][0], triangle[1][1])
dp_ = [0] * n
dp_[0] = triangle[0][0] + triangle[1][0]
dp_[1] = triangle[0][0] + triangle[1][1]
for i in range(3, n+1): # i是行數 索引爲i-1
dp = [0] * n
for j in range(i): # 每行 j代表列索引
if j == 0:
dp[j] = dp_[j] + triangle[i-1][0]
elif j == i-1:
dp[j] = dp_[j-1] + triangle[i-1][j]
else:
dp[j] = min(dp_[j], dp_[j-1]) + triangle[i-1][j]
dp_ = dp
return min(dp_)
152. Maximum Product Subarray
Given an integer array nums, find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.
題目解析：
前面有一道Maximum Subarray 最大連續和，圖森破了就不介紹了。這道題是乘積，沒有小數，但是會有0和負數。
1. 出現0的情況下重新往後算，另外0也可能是最大值；
2. 重點考慮負數*負數得到較大的乘積的形式，因此我們要記錄兩個值，一個是連續乘積最大值（正數），一個是連續乘積最小值（負數）；當前數字爲是正數或負數，需要用不同的方式更新這兩個記錄。
下面我們看代碼，我們用dp_pos[i]和dp_neg[i]分別表示這兩個值在i處的情況，當然我們可以優化爲O(1)空間的。由於題目思路稍微複雜點，我們先寫成O(n)空間的，理解了思路後再優化。
class Solution:
def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
if not nums:
return 0
l = len(nums)
if l == 1:
return nums[0]
dp_pos = [0] * l
dp_neg = [0] * l
dp_pos[0] = max(nums[0], 0)
dp_neg[0] = min(nums[0], 0)
for i in range(1, l):
num = nums[i]
if num == 0:
continue
elif num > 0:
# 當前數字爲正
dp_pos[i] = max(num, dp_pos[i-1] * num)
dp_neg[i] = min(num, dp_neg[i-1] * num)
else:
# 當前數字爲負
dp_pos[i] = max(num, dp_neg[i-1] * num)
dp_neg[i] = min(num, dp_pos[i-1] * num)
return max(dp_pos)
這是幾道稍加變形的DP題目，屬於DP中必會的。後面我們會逐漸介紹有難度的題目