【算法】歐幾里德算法(輾轉相除法)求最大公約數

定理：兩個整數的最大公約數等於其中較小的那個數和兩數相除餘數的最大公約數。最大公約數（Greatest Common Divisor）縮寫爲GCD。

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨設a>b 且r=a mod b ,r不爲0)
則有：gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = gcd(a%b, (b%(a%b))) = … … = gcd(c, 0) = c

證明：

我們首先約定：m = gcd(a,b) , n = gcd(b, q) , a = b*p +q。
（這裏的gcd含義跟上面一樣，q的含義跟後面式子同）

1. =>m 是a,b的最大公約數，那麼m整除a,b
   =>q = a - b*p
   =>m也可以整除q
   =>m就是b和q的公約數
   =>n是b,q的最大公約數
   =>n <= m

2. =>n 是q,b的最大公約數，那麼n整除q,b
   =>a = b*p + q
   =>n也可以整除a
   =>n就是b和a的公約數
   =>m是b,a的最大公約數
   =>m <= n

思路分析：

代碼實現：

    #include<stdio.h>
    int Gcd(int M, int N)
    {
        int Rem;
        while(N > 0)
        {
            Rem = M % N;
            M = N;
            N = Rem;
        }
        return M;
    }
    int main(void)
    {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        printf("the greatest common factor of %d and %d is ",a, b);
        printf("%d\n",Gcd(a,b));
        return 0;
    }