數據結構與算法（樹）

首語

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樹

• 樹（Tree）是n（n≥0）個結點的有限集。n=0時稱爲空樹。在任意一顆非空樹中：（1）有且僅有一個特定的稱爲根（Root）的結點；（2）當n>1時，其餘結點可分爲m（m>0）個互不相交的有限集T1、T2、…Tm，其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱爲根的子樹（SubTree）。
  

結點的度

• 結點擁有的子樹數稱爲結點的度。度爲0的節點稱爲葉子結點或終端結點，度不爲0的結點稱爲非終端結點或分支結點。除根結點以外，分支結點也稱爲內部結點。樹的度是樹內各節點的度的最大值。

層次與深度

• 結點的層次（Level）從根開始定義起，根爲第一層，根的孩子爲第二層。若某結點在第一層，則其子樹的根就在l+1層。其雙親在同一層的結點互爲堂兄弟。顯然圖中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I、J也是。樹中結點的最大層次稱爲樹的深度（Depth）或高度，當前樹的深度爲4。
  

有序與無序樹

• 如果將樹中結點的各子樹看成從左至右是有次序的，不能互換的，則稱該樹爲有序樹，否則稱爲無序樹。

森林

• 森林（Forest）是m（m≥0）棵互不相交的樹的集合。

樹的存儲結構

• 簡單的順序存儲不能滿足樹的實現。
• 結合順序存儲和鏈式存儲來實現。

三種表示方法

1、雙親表示法

• 在每個結點中，附設一個指示器指示其雙親結點到鏈表中的位置。
  

2、孩子表示法

• 方案一
  
• 方案二
  
• 最終方案
         把每個結點的孩子結點排列起來，以單鏈表作爲存儲結構，則n個結點有n個孩子鏈表，如果是葉子結點則此單鏈表爲空，然後n個頭指針又組成一個線性表，採用順序存儲結構，存放在一個一維數組中。
  

3、孩子兄弟表示法

• 任意一棵樹，它的結點的第一個孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我們設置兩個指針，分別指向該結點的第一個孩子和此結點的右兄弟。
  

二叉樹

• 二叉樹（Binary Tree）是n（n≥0）個結點的有限集合，該集合或者爲空集（稱爲二叉樹），或者由一個根節點和兩顆互不相交的、分別稱爲根節點的左子樹和右子樹的二叉樹組成。

斜樹（特殊二叉樹）

• 所有的結點都只有左子樹的叫做左斜樹。所有結點都是右子樹的二叉樹叫右斜樹。這兩者統稱爲斜樹。
  

滿二叉樹

• 在一顆二叉樹中，如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。

完全二叉樹

• 對一顆具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號爲i（1≤i≤n）的結點與同樣深度的滿二叉樹找那個編號爲i的結點在二叉樹中位置相同，則這棵二叉樹稱爲完全二叉樹。

二叉樹的性質

• 性質1：在二叉樹的第i層上至多有2的i-1次方個結點（i≥1）。
• 性質2：深度爲k的二叉樹至多有2的k-1次方個結點（k≥1）。
• 性質3：對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數爲n0，度爲2的結點爲n2，則n0=n2+1。
  證明： 設n爲總結點數，n1爲度爲1的結點樹，n2位度爲2 的結點樹，n0爲終端結點樹。
             n=n0+n1+n2,而分支線總數=n-1=n1+2n2。
            推出n0+n1+n2-1=n1+2n2。即n0=n2+1。
  
• 性質4：具有n個結點的完全二叉樹深度[㏒2ⁿ]+1（[x]表示不大於x的最大整數）。
• 性質5：如果對一顆有n個結點的完全二叉樹（其深度爲[㏒2ⁿ]+1）的結點按層序編號（從第1層到第
  [㏒2ⁿ]+1層，每層從左到右），對任意一個結點i（1≤i≤n）有：
  1、如果i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1,則其雙親是結點[i/2].
  2、如果2i>n，則結點i無左孩子（結點i爲葉子結點）；否則其左孩子是結點2i。
  3、如果2i+1>n，則結點i無右孩子；否則其右孩子是結點2i+1。

順序存儲

• 完全二叉樹
  
  
• 一般二叉樹
  
  

二叉鏈表

• lchild—>data—>rchild
  

二叉樹的遍歷

• 前序遍歷（根左右）
         規則是若二叉樹爲空，則空操作返回，否則先訪問跟結點，然後前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹。
  
• 中序遍歷（左根右）
         規則是若樹爲空，則空操作返回，否則從根結點開始(注意並不是先訪問根結點)，中序遍歷根結點的左子樹，然後是訪問根結點，最後中序遍歷右子樹。
  
• 後序遍歷（左右根）
         規則是若樹爲空，則空操作返回，否則從左到右先葉子後結點的方式遍歷訪問左右子樹，最後是訪問根結點。
  
• 層序遍歷
         規則是若樹爲空，則空操作返回，否則從樹的第-一層，也就是根結點開始訪問，從上而下逐層遍歷，在同一層，按從左到右的順序對結點逐個訪問。
  

代碼實現

• 構建二叉樹

private TreeNode  root = null;
	
	public BinaryTree(){
		root = new TreeNode(1, "A");
	}
/**
	 * 構建二叉樹
	 *         A
	 *     B       C
	 * D      E        F
	 */
	public void createBinaryTree(){
		TreeNode nodeB = new TreeNode(2, "B");
		TreeNode nodeC = new TreeNode(3, "C");
		TreeNode nodeD = new TreeNode(4, "D");
		TreeNode nodeE = new TreeNode(5, "E");
		TreeNode nodeF = new TreeNode(6, "F");
		root.leftChild = nodeB;
		root.rightChild = nodeC;
		nodeB.leftChild = nodeD;
		nodeB.rightChild = nodeE;
		nodeC.rightChild = nodeF;
	}
	public class TreeNode{
		private int index;
		private String data;
		private TreeNode leftChild;
		private TreeNode rightChild;
		
		public TreeNode(int index,String data){
			this.index = index;
			this.data = data;
			this.leftChild = null;
			this.rightChild = null;
		}
	}

• 求二叉樹的高度

/**
	 * 求二叉樹的高度
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public int getHeight(){
		return getHeight(root);
	}
	
	private int getHeight(TreeNode node) {
		if(node == null){
			return 0;
		}else{
			int i = getHeight(node.leftChild);
			int j = getHeight(node.rightChild);
			return (i<j)?j+1:i+1;
		}
	}

• 獲取二叉樹的結點樹

/**
	 * 獲取二叉樹的結點數
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public int getSize(){
		return getSize(root);
	}
	
	
	private int getSize(TreeNode node) {
		if(node == null){
			return 0;
		}else{
			return 1+getSize(node.leftChild)+getSize(node.rightChild);
		}
	}

• 前序遍歷（迭代與非迭代）

/**
	 * 前序遍歷――迭代
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public void preOrder(TreeNode node){
		if(node == null){
			return;
		}else{
			System.out.println("preOrder data:"+node.getData());
			preOrder(node.leftChild);
			preOrder(node.rightChild);
		}
	}
	
	/**
	 * 前序遍歷――非迭代
	 */
	
	public void nonRecOrder(TreeNode node){
		if(node == null){
			return;
		}
		Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
		stack.push(node);
		while(!stack.isEmpty()){
			//出棧和進棧
			TreeNode n = stack.pop();//彈出根結點
			//壓入子結點
			System.out.println("nonRecOrder data"+n.getData());
			if(n.rightChild!=null){
				stack.push(n.rightChild);
				
			}
			if(n.leftChild!=null){
				stack.push(n.leftChild);
			}
		}
	}

• 中序遍歷

/**
	 * 中序遍歷――迭代
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public void midOrder(TreeNode node){
		if(node == null){
			return;
		}else{
			midOrder(node.leftChild);
			System.out.println("midOrder data:"+node.getData());
			midOrder(node.rightChild);
		}
	}

• 後序遍歷

/**
	 * 後序遍歷――迭代
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public void postOrder(TreeNode node){
		if(node == null){
			return;
		}else{
			postOrder(node.leftChild);
			postOrder(node.rightChild);
			System.out.println("postOrder data:"+node.getData());
		}
	}