從一道初等幾何題目聊聊作爲工具的數學

作爲一個在杭州的流民，每週末才能回家，早上例行家務，做完後例行刷10分鐘手機，在朋友圈看到一個有意思的幾何題，原題如下：

哈哈，這正是我的菜，一直都是，遂放下手機，拿了幾張打印紙，開始比劃。

這等題目背後一定暗藏着某種奇技淫巧，必須作出輔助線才能真相大白，我先後嘗試了：

• 過C做CG平行於AB…
• 在AD上截取一點G，使得AG=AB，則三角形AGC等邊…
• …
• 過A作AG交DC於G，使得角BAG=60度…

其中最後一個奏效：

很容易證明$\triangle ABG$等邊，由於$AC=AG$，則可求$\angle AGC=80$，進而$\angle DGA=100$，這就好玩了，簡單掐指一算，$\angle DAG=40$，我靠，$AG=DG$，所以，$\triangle GBD$等腰啊，所以，$\angle BDG=\dfrac{180-40}{2}=70$，最終，$\angle BDA=70-40=30$。

…

這一趟下來，豐滿的很！我對這等奇技淫巧暗喜，從中學時代開始，我就驚歎於這等把戲，並且踐行之，直到今日，我日常工作中，依然熱衷於這種，詳情參見我之前的文章。

由是我也付出了高昂的代價，我中學期間雖然數學競賽能獲獎，但高考失利，如今雖然能解決棘手問題，但不會編程…

如果$\angle BAC=81$怎麼辦？哈哈。

我寫這篇文章，不是爲了弘揚傳統歐幾里得幾何學中衆等奇技淫巧，更不是爲了將此表述爲所謂的藝術，雖然，在古希臘，這種技巧往往是貴族的娛樂活動之一，但真正的數學，必然是工具化的，思想化的。

我們需要一種工具。

這就是解析式，在笛卡爾座標系中，這種問題便化作了一種流程化的算法，只需要記住簡單的幾個規則，這種問題便可以迎刃而解，即便$\angle BAC=82.3479$也無所謂。

隨便選擇一個原點$O$建立平面直角座標系，本例我選擇BC的中點，並設$OC=1$：

很容易用點斜式求得直線$DC$，$AD$的方程：

$L_{dc}:y=\tan 30\times (x-1)$
$L_{ad}:y-\tan 50=\tan70\times x$

進而兩個方程聯立得到點D的座標：

$D:(\dfrac{tan30+tan50}{tan30-tan50},\dfrac{2tan50 tan30}{tan30-tan50})$

接下來用兩點式求的直線$BD$的方程，最終用夾角公式求的直線$BD$和$AD$的夾角。

是不是降維打擊！

一道精心設計的題目，在三角形以及其角度之間被隱藏了太多的信息，就好像捉迷藏，只有作出正確的輔助線才能讓人恍然大悟的題目，在解析式面前顯得如此蒼白！

在解析式面前，甚至不需要挖掘出圖形背後隱藏的等邊三角形，隨便一個人，只需要機械化演算，就能得到結果，這就是力量。

哦，對了，還有諸多類似 求陰影部分面積 的題目，也是隱藏了很多非常狠毒的把戲，然而在解析座標系裏的微積分面前，一切都將暴露，任何把戲都是無力的。

雖然解析式和微積分讓人覺得枯燥，顯得毫無技巧，但是它們確實是推動現代科學進步的工具，是的，它們真正將數學工具化了，數學不再是一種思維遊戲，不再是捉迷藏的把戲，而實實在在成了扳手榔頭…

哦，還有，計算機不會自己想到歐幾里得幾何的奇技淫巧，但它卻可以完成規則更簡單的解析式運算，到底什麼是智能呢？

本質上，解析式就是把世界擺在了一個規則的網格里，你挨着數數就可以，遍歷雖然低效，但總是可行的，而把戲並非每次都奏效，它是需要條件的…

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浙江溫州皮鞋溼，下雨進水不會胖。