機器學習——聚類算法

本文主要講解的聚類算法有：k均值算法、均值漂移算法、凝聚層次算法、DBSCAN密度聚類算法，還介紹了聚類算法性能指標——輪廓係數。

　　聚類（cluster）與分類（class）不同，分類是有監督學習模型，聚類屬於無監督學習模型。聚類講究使用一些算法把樣本劃分爲n個羣落。一般情況下，這種算法都需要計算歐幾里得距離。

$$P(x_1) - Q(x_2): |x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} \\
P(x_1,y_1) - Q(x_2,y_2): \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \\
P(x_1,y_1,z_1) - Q(x_2,y_2,z_2): \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2} \\$$

歐氏距離：用兩個樣本對應特徵值之差的平方和的平方根，來表示這兩個樣本的相似性。

K均值算法

第一步：隨機選擇k個樣本作爲k個聚類的中心，計算每個樣本到各個聚類中心的歐氏距離，將該樣本分配到與之距離最近的聚類中心所在的類別中。

第二步：根據第一步所得到的聚類劃分，分別計算每個聚類的幾何中心，將幾何中心作爲新的聚類中心，重複第一步，直到計算所得幾何中心與聚類中心重合或接近重合爲止。

注意：

1. 聚類數$k$必須事先已知。藉助某些評估指標(歐式距離)，優選最好的聚類數。

2. 聚類中心的初始選擇會影響到最終聚類劃分的結果。初始中心儘量選擇距離較遠的樣本。

K均值算法相關API：

import sklearn.cluster as sc

model = sc.KMeans(n_clusters=4)     # n_clusters: 聚類數
# 訓練模型，不斷調整聚類中心，直到最終聚類中心穩定則聚類完成
model.fit(x)
centers = model.cluster_centers_    # 獲取訓練結果的聚類中心
labels = model.labels_              # 每個樣本的聚類的類別標籤

案例：加載multiple3.txt數據集，基於K均值算法完成樣本的聚類。

import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.loadtxt('../machine_learning_date/multiple3.txt', delimiter=',')
model = sc.KMeans(n_clusters=4)     # 構建質心數量爲4的聚類模型
model.fit(x)                        # 訓練模型
pred_y = model.labels_              # 返回每個樣本的聚類的類別標籤: 0/1/2/3
centers = model.cluster_centers_    # 返回所有的聚類中心樣本
print(centers)
# 繪製分類邊界線
n = 500
l, r = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
b, t = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1
# 生成網格座標矩陣
grid_x = np.meshgrid(np.linspace(l, r, n), np.linspace(b, t, n))
# 按列拼接數組
flat_x = np.column_stack((grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()))
flat_y = model.predict(flat_x)
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape)

plt.figure('K-Means Cluster', facecolor='lightgray')
plt.title('K-Means Cluster', fontsize=14)
plt.xlabel('x', fontsize=14)
plt.ylabel('y', fontsize=14)
plt.tick_params(labelsize=10)
plt.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray')
plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80)
plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', marker='+', s=500)

plt.show()

圖像量化

　　K-Means聚類算法可以應用於圖像量化領域。通過K-Means算法可以把一張圖像所包含的顏色值進行聚類劃分，求每一類別的平均值後再重新生成新的圖像。可以達到圖像降維的目的。這個過程稱爲圖像量化。圖像量化可以更好的保留圖像的輪廓，降低機器識別圖像輪廓的難度。

import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.misc as sm


# 通過K均值聚類量化 圖像中的"顏色"
def quant(image, n_clusters):
    # x代表所有圖片像素點的亮度值數組
    x = image.reshape(-1, 1)
    model = sc.KMeans(n_clusters=n_clusters)
    model.fit(x)
    # 當n_clusters=2時，label含:0/1
    # 當n_clusters=3時，label含:0/1/2
    # 當n_clusters=4時，label含:0/1/2/3
    y = model.labels_
    # 獲取聚類中心 [30, 70, 110, 190]
    centers = model.cluster_centers_.ravel()        # 獲取質心並變爲一維數組
    return centers[y].reshape(image.shape)

# 讀取灰度圖
original = sm.imread('../machine_learning_date/lily.jpg', True)
quant2 = quant(original, 2)
quant3 = quant(original, 3)
quant4 = quant(original, 4)
plt.figure('Image Quant', facecolor='lightgray')
plt.subplot(221)
plt.title('Original', fontsize=14)
plt.axis('off')
plt.imshow(original, cmap='gray')
plt.subplot(222)
plt.title('Quant-2', fontsize=14)
plt.axis('off')
plt.imshow(quant2, cmap='gray')
plt.subplot(223)
plt.title('Quant-3', fontsize=14)
plt.axis('off')
plt.imshow(quant3, cmap='gray')
plt.subplot(224)
plt.title('Quant-4', fontsize=14)
plt.axis('off')
plt.imshow(quant4, cmap='gray')
plt.tight_layout()
plt.show()

均值漂移算法

　　假設在一個有N個樣本點的特徵空間，初始一箇中心點，計算在設置的半徑圓形空間內的所有點與中心點的向量，計算整個圓形空間內所有向量的平均值，得到一個偏移均值，將中心點移動到偏移值位置，重複移動，直到滿足一定條件結束，最終移動的中心點就是聚類的中心，再根據每個樣本距離各個中心的距離，選擇最近聚類中心所屬的類別作爲該樣本的類別。

均值漂移算法的特點：

1. 聚類數不必事先已知，算法會自動識別出統計直方圖的中心數量。
2. 聚類中心不依據於最初假定，聚類劃分的結果相對穩定。
3. 樣本空間應該服從某種概率分佈規則，否則算法的準確性會大打折扣。

均值漂移算法相關API：

# n_samples：樣本數量
# quantile：量化寬度
# 計算出半徑（帶寬）
bw = sc.estimate_bandwidth(x, n_samples=len(x), quantile=0.1) 
# 均值漂移聚類器
model = sc.MeanShift(bandwidth=bw, bin_seeding=True)
model.fit(x)

案例：加載multiple3.txt，使用均值漂移算法對樣本完成聚類劃分。

"""均值漂移"""
import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.loadtxt('../machine_learning_date/multiple3.txt', delimiter=',')
# 構建聚類模型
bw = sc.estimate_bandwidth(x, n_samples=len(x), quantile=0.2)   # 計算出半徑(帶寬)
model = sc.MeanShift(bandwidth=bw, bin_seeding=True)
model.fit(x)
# 返回每個樣本的聚類的類別標籤: 0/1/2/3
pred_y = model.labels_
# 返回所有的聚類中心樣本
centers = model.cluster_centers_
print(centers)
# 繪製分類邊界線
n = 500
l, r = x[:, 0].min() - 1, x[:, 0].max() + 1
b, t = x[:, 1].min() - 1, x[:, 1].max() + 1
grid_x = np.meshgrid(np.linspace(l, r, n), np.linspace(b, t, n))
flat_x = np.column_stack((grid_x[0].ravel(), grid_x[1].ravel()))
flat_y = model.predict(flat_x)
grid_y = flat_y.reshape(grid_x[0].shape)

plt.figure('K-Means Cluster')
plt.title('K-Means Cluster', fontsize=14)
plt.xlabel('x', fontsize=14)
plt.ylabel('y', fontsize=14)
plt.tick_params(labelsize=10)
plt.pcolormesh(grid_x[0], grid_x[1], grid_y, cmap='gray')
plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80)
plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', marker='+', s=500)

plt.show()

凝聚層次算法

　　首先假定每個樣本都是一個獨立的聚類，如果統計出來的聚類數大於期望的聚類數，則從每個樣本出發尋找離自己最近的另一個樣本，與之聚集，形成更大的聚類，同時令總聚類數減少，不斷重複以上過程，直到統計出來的聚類數達到期望值爲止。

凝聚層次算法的特點：

1. 聚類數必須事先已知。藉助某些評估指標，優選最好的聚類數。

2. 沒有聚類中心的概念，因此只能在訓練集中劃分聚類，但不能對訓練集以外的未知樣本確定其聚類歸屬。

3. 在確定被凝聚的樣本時，除了以距離作爲條件以外，還可以根據連續性來確定被聚集的樣本。

凝聚層次算法相關API：

# 凝聚層次聚類器
model = sc.AgglomerativeClustering(n_clusters=4)
pred_y = model.fit_predict(x)

案例：重新加載multiple3.txt，使用凝聚層次算法進行聚類劃分。

import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.loadtxt('../machine_learning_date/multiple3.txt', delimiter=',')
# 凝聚層次聚類器
model = sc.AgglomerativeClustering(n_clusters=4)
pred_y = model.fit_predict(x)        # pred_y爲x的類別
plt.figure('Agglomerative Cluster', facecolor='lightgray')
plt.title('Agglomerative Cluster', fontsize=14)
plt.xlabel('x', fontsize=14)
plt.ylabel('y', fontsize=14)
plt.tick_params(labelsize=10)
plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y, cmap='brg', s=80)
plt.show()

在確定被凝聚的樣本時，除了以距離作爲條件以外，還可以根據連續性來確定被聚集的樣本。

"""
基於連續性近鄰篩選器的凝聚層次算法
"""
import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import sklearn.neighbors as nb
import matplotlib.pyplot as plt

n_samples = 500
x = np.linspace(-1, 1, n_samples)
y = np.sin(x * 2 * np.pi)
n = 0.3 * np.random.rand(n_samples, 2)
x = np.column_stack((x, y)) + n     # 按列拼接
# 無連續性的凝聚層次聚類器
model_nonc = sc.AgglomerativeClustering(linkage='average', n_clusters=3)
pred_y_nonc = model_nonc.fit_predict(x)
# 近鄰篩選器
conn = nb.kneighbors_graph(x, 10, include_self=False)
# 有連續性的凝聚層次聚類器
model_conn = sc.AgglomerativeClustering(
    linkage='average', n_clusters=3, connectivity=conn)
pred_y_conn = model_conn.fit_predict(x)
plt.figure('Nonconnectivity', facecolor='lightgray')
plt.title('Nonconnectivity', fontsize=14)
plt.xlabel('x', fontsize=14)
plt.ylabel('y', fontsize=14)
plt.tick_params(labelsize=10)
plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y_nonc, cmap='brg', alpha=0.5, s=30)
plt.figure('Connectivity', facecolor='lightgray')
plt.title('Connectivity', fontsize=14)
plt.xlabel('x', fontsize=14)
plt.ylabel('y', fontsize=14)
plt.tick_params(labelsize=10)
plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=pred_y_conn, cmap='brg', alpha=0.5, s=30)
plt.show()

輪廓係數

聚類性能的指標：同一個聚類內部的樣本要足夠密集，不同聚類之間樣本要足夠疏遠。

輪廓係數計算規則：針對樣本空間中的一個特定樣本，計算它與所在聚類其它樣本的平均距離a，以及該樣本與距離最近的另一個聚類中所有樣本的平均距離b，該樣本的輪廓係數爲(b-a)/max(a, b)，將整個樣本空間中所有樣本的輪廓係數取算數平均值，作爲聚類劃分的性能指標。

輪廓係數的區間爲：[-1, 1]。 -1代表分類效果差，1代表分類效果好。0代表聚類重疊，沒有很好的劃分聚類。

輪廓係數相關API：

import sklearn.metrics as sm
# v：平均輪廓係數
# metric：距離算法：使用歐幾里得距離(euclidean)
v = sm.silhouette_score(輸入集, 輸出集, sample_size=樣本數, metric=距離算法)

案例：輸出KMeans算法聚類劃分後的輪廓係數。

# 打印平均輪廓係數
print(sm.silhouette_score( x, pred_y, sample_size=len(x), metric='euclidean'))

DBSCAN密度聚類算法

　　DBSCAN是基於密度的聚類算法，通過將緊密相連的樣本劃爲一類，這樣就得到了一個聚類類別。通過將所有各組緊密相連的樣本劃爲各個不同的類別，則我們就得到了最終的所有聚類類別結果。把具有足夠高密度的區域劃分爲鏃（同一類別的樣本他們之間緊密相連，也就是說在該類別任意樣本週圍不遠處一定有同類別的樣本存在）。並可在噪聲的空間數據庫中發現形狀的聚類。

DBSCAN算法的特點：

1. 密度聚類算法一般假定類別可以通過樣本分佈的緊密程度決定。

2. 事先給定的半徑會影響最後的聚類效果，可以藉助輪廓係數選擇較優的方案。

3. 根據聚類的形成過程，把樣本細分爲以下三類：

   外周樣本：被其它樣本聚集到某個聚類中，但無法再引入新樣本的樣本。

   孤立樣本：聚類中的樣本數低於所設定的下限，則不稱其爲聚類，反之稱其爲孤立樣本。

   核心樣本：除了外周樣本和孤立樣本以外的樣本。

DBSCAN聚類算法相關API：

# DBSCAN聚類器
# eps：半徑
# min_samples：聚類樣本數的下限，若低於該數值，則稱爲孤立樣本
model = sc.DBSCAN(eps=epsilon, min_samples=5)
model.fit(x)
# 獲取訓練後所有聚類的核心樣本的索引數組  
# 可以以此作爲掩碼，獲取所有的核心樣本
indices = model.core_sample_indices_
# 每個樣本的聚類類別標籤  [0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,-1]
labels = model.labels_  # 會出現-1的情況，label=-1的樣本就是孤立樣本

案例：修改凝聚層次聚類案例，基於DBSCAN聚類算法進行聚類劃分，選擇最優半徑。

import numpy as np
import sklearn.cluster as sc
import sklearn.metrics as sm
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.loadtxt('../machine_learning_date/perf.txt', delimiter=',')
epsilons, scores, models = np.linspace(0.3, 1.2, 10), [], []
for epsilon in epsilons:
    # DBSCAN聚類器
    model = sc.DBSCAN(eps=epsilon, min_samples=5)
    model.fit(x)
    # 計算輪廓係數
    score = sm.silhouette_score(
        x, model.labels_, sample_size=len(x), metric='euclidean')
    scores.append(score)
    models.append(model)
scores = np.array(scores)
best_index = scores.argmax()  # 求出最大值的索引
best_epsilon = epsilons[best_index]  # 最優半徑
best_score = scores[best_index]  # 最優輪廓係數
best_model = models[best_index]
print("最優半徑", best_epsilon)　　 # 最優半徑 0.7999999999999999
print("最優輪廓係數", best_score)　　# 最優輪廓係數 0.6366395861050828

獲取核心樣本、外周樣本、孤立樣本。並且使用不同的點型繪圖。

core_mask = np.zeros(len(x), dtype=bool)
core_mask[best_model.core_sample_indices_] = True
offset_mask = best_model.labels_ == -1
periphery_mask = ~(core_mask | offset_mask)
plt.figure('DBSCAN Cluster', facecolor='lightgray')
plt.title('DBSCAN Cluster', fontsize=14)
plt.xlabel('x', fontsize=14)
plt.ylabel('y', fontsize=14)
plt.tick_params(labelsize=10)
labels = best_model.labels_
# 核心樣本
plt.scatter(x[core_mask][:, 0], x[core_mask][:, 1], c=labels[core_mask],
            cmap='brg', s=80, label='Core')
# 外周樣本
plt.scatter(x[periphery_mask][:, 0], x[periphery_mask][:, 1], alpha=0.5,
            c=labels[periphery_mask], cmap='brg', marker='s', s=80, label='Periphery')
# 孤立樣本
plt.scatter(x[offset_mask][:, 0], x[offset_mask][:, 1],
            c=labels[offset_mask], cmap='brg', marker='x', s=80, label='Offset')
plt.legend()
plt.show()