算法小題：最長遞增子序列

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前言

ok，這兩天又研究了關於最長遞增子序列相關的一些內容。記錄在此，希望便人便己

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問題描述

求一個序列的最長遞增子序列，這樣的子序列是允許中間越過一些字符的，即留“空”。
例如：序列A: 4 2 3 1 5 的最長遞增子序列爲 2 3 5，長度爲 3 。

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解法一

分析

這題其實和上次那個最大連續子序列和有點像，解法一的思路也和最大連續子序列和問題有些許聯繫。可以採用類似的解空間的思路。
對於給定的一個求解序列來說，假定其最終的答案是b0,b1,b2…bj（這裏的b0,b1,b2…都是從原序列中抽取的遞增值，其中bj是最後一個元素，也是最大的一個），那麼可以肯定bj要麼是a0,要麼是a1,…要麼是a(n-1).也就是說，最終求解的序列的最大值，要麼是以a0爲結尾的序列，要麼是a1結尾的序列…

舉個栗子，還是題目中的那個序列：最終的答案可以是以下幾種：
（1）、以4爲結尾的序列，只有一種:就是4
（2）、以2爲結尾的序列，一種:2 （注意（4 2）不是遞增的）
（3）、以3爲結尾的序列，兩種:3 或者（2 3）
…

所以我們可以確定一個條件，然後所有的條件都組合起來。還是一句話，這裏並不是說要用暴力解法，全部都列舉出來，只是用這種思路（先確定解空間的一個條件）來構造符合動態規劃的性質和特點，也就是重複子問題和最優子結構。

經過上述的分析，我們可以用lcs[i] 表示 以第i個結點爲遞增序列的最後一個結點的所有序列中最長的序列長度。

說的有點拗口哦，以題目所給的序列作爲例子，比如說lcs[2]就是以3爲結尾的遞增序列中長度最長的那個，以3位結尾的遞增序列有兩種3 和 2 3 ，最長的長度肯定就是2了。所以lcs[2] = 2.

構造了lcs[ ]之後，我們可以得到動態規劃的很重要的一個屬性，就是最優子結構性質。具體一點就是說，lcs[i] 的求解可以從lcs[j]，（0<=j <= i-1） 得到，說的在透明些，也就是說，lcs[i]的求解不需要重複i元素之前的所有序列情況，只要用到前面記錄的所有lcs[j] 就可以（0<=j <= i-1） ），這也是動態規劃思想的一個精髓，用記表的方式避免了重複計算相同的單元

最終我們可以得到這樣一個遞推式：

好了遞推式出來了，代碼就不成問題了。

代碼

//利用動態規劃求解最長遞增子序列
int LongIncSeq(int data[],int n)
{
    int lis[n] = {0};
    int longest = 0;

    for(int i = 0;i<n;++i)
    {
        int tmpLon = 0;         //記錄以i爲結束結點的，最長遞增子序列
        for(int j = i-1;j>=0;--j)       //判斷data[0]-data[i-1]所有比data[i]小的元素
        {
            if(data[i] > data[j])
            {
                if(lis[j] >tmpLon)      //取較大的值
                    tmpLon = lis[j];
            }
        }
        lis[i] = tmpLon+1;          //記錄以i爲尾部的最長的遞增子序列
        if(lis[i]>longest)      //記錄整體最長的
            longest = lis[i];
    }
    return longest;
}

注：以上算法的複雜度很容易看出來是O(N2)級別的

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解法二

分析

解法二比較巧妙，照我看來，還是從某種程度上用瞭解空間的這種思維方式。它是這樣分解解空間的：

假設遞增子序列B是一個解，那麼B長度可能的取值是
0,1,2,3,…, n-1. 這個挺容易理解的。
那麼我可以在遍歷元素的過程中，記錄着長度爲i的遞增子序列最大元素的最小值。用maxElem[i]表示。

具體來說：
（1）、長度爲1的遞增子序列最大元素的最小值爲maxElem[1]
（2）、長度爲2的遞增子序列最大元素的最小值爲maxElem[2]
（3）、長度爲2的遞增子序列最大元素的最小值爲maxElem[3]
… … …
比如說對於序列A = {1,-1,2,-3,4,-5,6,-7}
當i爲4時，
長度爲1的遞增序列有：1，-1,2，-3 這四個，其中的最小值爲-1
長度爲2的遞增序列有：（1,2），（-1,2），其中的最小值爲2
長度爲3的遞增序列沒有。

與此同時，還要記錄一個遍歷到當前位置時，產生的最大的遞增子序列，也就是隨時更新maxElem[]數組的大小,假設用變量longIncSeq表示。

在遍歷的時候主要的操作是用當前元素A[i] 和maxElem[j]（j>=0 && j<=longIncSeq ），進行比較 （當然是從後往前比較）。
如果A[i]大於某個maxElem[j],就說明可以形成一個以A[i]爲最大元素的子序列。如果這個新形成的子序列長度大於longIncSeq，就更新longIncSeq的值。同時要更新對應長度子序列最大元素（也就是末尾元素）的最小值。

我知道，看起來寫的有些複雜，真正動動你的小手指，模擬一下就基本清楚了。

代碼

//另一種動態規劃的解法：最長遞增子序列
int LongIncseq(int data[],int n)
{
    int longIncSeq = 0;         //記錄最長的遞增子序列的長度
    int maxElem[n] = {0};       //記錄長度爲i的遞增子序列最大元素（也就是序列的末尾元素）的最小值

    maxElem[0] = (*min_element(data,data+n))-1;  //最小元素減1
    for(int i = 0;i<n;++i)
    {
        int j;

        for( j= longIncSeq;j>=0;--j)        //尋找所有序列長度在longIncSeq—0之間
        {
            if(data[i] > maxElem[j])       //data[i]大於序列長度爲j的最大元素
            {
                break;
            }
        }

        if(j == longIncSeq)
        {
            ++longIncSeq;

            maxElem[longIncSeq] = data[i];          //最新的序列長度
        }
        else if(maxElem[j]<data[i] && maxElem[j+1] > data[i])    //新長度爲j+1的序列，其最大值小於原來的那個就更換
        {
            maxElem[j+1] = data[i];
        }
    }

    return longIncSeq;
}

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總結

稍稍總結一下吧，兩點內容：
（1）、動態規劃算法針對的是問題的求解過程，而不是針對問題本身。我們在有了一個思路之後，可以按照這個思路，探究是否可以使用動態規劃的思想，就我來看就是記表、以空間換時間。
（2）、分解解空間，先假設確定一個條件，或許可以作爲上面的一種探究思路。