拉普拉斯方程的格林函數法
數理方程第四章之拉普拉斯方程的格林函數法
- 行波法:無界空間波動問題,有侷限性
- 分離變量法:各種有界問題,其解爲無窮級數
- 積分變換法:各種無界問題,其解爲無限積分
1.格林函數法:其解爲含有格林函數的有限積分。
由:
得
u(M)=∭τG(M,M0)h(M0)dτ0−∬σf(M0)∂G∂n0dσ0
G(M,M0)−狄氏格林函數
2.格林函數:點源函數,點源產生的場和影響若外力f(x,t)只在ξ點,τ時起作用
3.爲何引入格林函數法:
(1)解的形式(有限積分)便於理論分析和研究
(2)以統一的形式研究各類定解問題
(3)對於線性問題,格林函數一旦求出,就可以算出任意源的場,關鍵就是求點源
1.1δ函數
1.1.1δ函數的引入
1.物理背景
2.定義:
3.注意:
(1)δ−密度函數和點源函數
若在x=x0點放有m質量,總質量m,則ρ(x)=mδ(x−x0)
若在x=x0點放有電量爲q的點電荷,總電量爲q,則ρ(x)=qδ(x−x0)
(2)δ廣義函數
1.1.2δ函數的性質
設f(x)在(−∞,∞)連續,則
1.∫∞−∞f(x)δ(x−x0)dx=f(x0)[∫∞−∞f(x)δ(x)dx=f(0)]
注意:δ也能表示連續分佈的函數
f(t)=∫∞−∞f(τ)δ(τ−t)dτ=∫baf(τ)δ(τ−t)dτ
附:判斷函數相等的一種方法:
設f(x)與g(x)都是定義在(a,b)區間上的函數,若對於定義在(a,b)區間上的任意連續函數φ(x)都有如下等式成立:∫baf(x)φ(x)dx=∫bag(x)φ(x)dx,則必有:f(x)=g(x),特別：若∫baφ(x)g(x)dx=0,則必有g(x)=0
2.若定義ddxδ(x)=δ′(x)−δ函數的導數,則
(1)∫∞−∞f(x)δ′(x−x0)dx=−f′(x0)
(2)(x−x0)δ′(x−x0)=−δ(x−x0)
(3)∫∞−∞f(x)δ(n)(x−x0)dx=(−1)nf(n)(x0)
3.δ[φ(x)]=∑i=1nδ(x−xi)|φ′(xi)|,其中φ(xi)=0
1.1.3高維δ函數
1.定義：
1.1.4例題
1.∫21sinxδ(x−12)dx=0
2.∫21sinxδ(x)dx=0
3.∫∞−∞∫∞−∞sin(x+y)δ(x+2)δ(y−1)dxdy=sin(−1)
4.長爲1，密度爲ρ的弦兩端固定,初位移爲零,初始時刻在x=x0點受到一橫向衝量I0.試寫出弦的橫震動的定解問題.
1.2泊松方程的狄氏問題
1.2.1格林公式
1.爲何引入格林公式
(1)積分公式的起點是通過直接積分或分部積分將未知函數從微分號下解脫出來
(2)我們要求解的三類數值方程中均含有Δ,格林公式是將未知函數,從微分算法Δ下解脫出來的工具.設u(x,y,z),v(x,y,z)在τ中具有連續的二階導數,在τ¯上具有連續的一階導數,則有如下格林公式:
2.格林第一公式
∫τuΔvdτ+∫τ∇u⋅∇vdτ=∫σu∂v∂ndσ(3)
∫τvΔudτ+∫τ∇u⋅∇vdτ=∫σv∂u∂ndσ(4)
3.格林第二公式
∫τuΔvdτ−∫τvΔudτ=∫σ(u∂v∂n−v∂u∂n)dσ(5)
意義:(1)將u,v,Δu,Δv的值與u,v,∂v∂n,∂u∂n的邊值聯繫起來.
(2)u,v堆成
(3)若已知v,Δv=0,及v|σ,則由格林公式可能求得
之解.
4.球面平均值公式
(1)定義:
u¯(r,t)=14πr2∬SM0ru(M,t)ds
=14π∬SM0ru(M,t)dΩdΩ=dsr2=sinθdθdφ
−u(M,t)在以M0爲中心，r爲半徑的球面SM0r上的平均值.
(2)顯然u(M0,t0)=limr→0u¯(r,t0)
1.2.2積分公式−格林函數法
1.(三維)狄氏積分公式:M,M0∈τ
2.狄氏積分公式的物理意義:
第一項:體內源產生的場的和。
第二項:邊界上源產生的場的和。
3.(二維)狄氏積分公式
1.2.3小結
1.3格林函數
1.3.1泊松方程的格林函數
1.3.2狄氏格林函數
1.三維：
{ΔG=−δ(x−x0,y−y0,z−z0),M∈τG|σ=0
令G(M,M0)=F(M,M0)+g(M,M0)
使ΔF(M,M0)=−δ(M−M0)M∈τ,則
G(M,M0)=14πr+g−狄氏格林函數
⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ
2.二維:
{ΔG=−δ(x−x0,y−y0)G|l=0
G=12πln1r+g−狄氏格林函數
⎧⎩⎨g=0,M∈σg|l=−12πln1r|l
3.狄氏格林函數的物理意義:
{ΔG=−δ(M−M0),M∈τG|σ=0
G(M,M0)=14πr+g⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ
G−M點點位⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ε0提供:14πε0ε0r=14πr感應電荷提供v:⎧⎩⎨Δv=0,M∈τ∵v=gv|σ=−14πr|σ
求G→求M點點位→求感應電荷產生的點位
對於三維:即求:⎧⎩⎨Δg=0,M∈τg|σ=−14πr|σ
對於二維:即求:⎧⎩⎨Δg=0,M∈σg|l=−12πln1r|l
1.3.3用電像法求狄氏格林函數
1.問題引入:
求解球內狄氏問題:{Δu=0,ρ<au|ρ=a=f(M)
解:u(M)=−∬σf(M0)∂G∂n0dσ0
G(M,M0)=14πr+g;⎧⎩⎨Δg=0,M∈ρ<ag|ρ=a=−14πr|ρ=a
求u→求G→求M點電位→求感應電荷產生的點位g
2.用電像法求g:
(1)分析:若能在σ外的某點M1放一適當的負q,則
Δ(−q4πε0r1)=0,M∈ρ<a
使:−q4πε0r1|ρ=a=−14πr|ρ=a
則g=−qrπε0r1
∴求g→a)確定M1的位置;b)確定q大小問題
(2)求球域的G
a)r1=?記|OM0|=ρ0,|OM1|=ρ1,使ρ0⋅ρ1=a2,即ρ0a=aρ1
則稱M1爲M0關於球面ρ=a的像
b)q=?1r|σ=?
∵ΔOM0M∼ΔOM1M
∴ρ0a=aρ1=rr1,即1r|ρ=a=a/ρ0r1|ρ=a
g=−ε0a/ρ04πε0r1=−a/ρ04πr1,q=ε0aρ0
G=14πr−a/ρ04πr1,−q=−ε0aρ0是ε0的電像
(3)電像法:這種在像點放一虛構的點電荷，來等效代替邊界面上的感應電荷所產生的點位的方法稱之爲電像法。
3.求u(M)
1.3.4註釋
1.cosγ=?
設I⃗ 爲OM→方向單位向量,I0→爲OM0→方向單位向量,則
I⃗ =xi⃗ +yj⃗ +zk⃗ =sinθcosφi⃗ +sinθsinφj⃗ +cosθk⃗
I0→=x0i⃗ +y0j⃗ +z0k⃗ =sinθ0cosφ0i⃗ +sinθ0sinφ0j⃗ +cosθ0k⃗
∴I⃗ ⋅I⃗ 0=|I⃗ ⋅I⃗ 0|cosγ=cosγ
=sinθcosφsinθ0cosφ0+sinθsinφsinθ0sinφ0+cosθcosθ0
1.3.5小結
生活給了你一塊陰影，必會在不遠的地方撒下陽光