關於稱量球問題的證明

定義：稱量球：T個球外觀，大小相同，其中有且只有一個壞球，好球的質量均相同，壞球的質量與好球的質量不同。

定理：不借助於其他球的幫助，用不帶砝碼的天平稱n次，可以從(3ⁿ -1)/2 只不知道壞球重量的稱量球中找到壞球（其中n>= 2，n爲自然數）。

引理一：不借助於其他球的幫助，用不帶砝碼的天平稱n次，可以從 3ⁿ只已經知道壞球重量的稱量球中找到壞球（其中n>= 1，n爲自然數）。

證明：（數學歸納法）

當n=1時，T =3 ， 天平左右兩端分別放一隻，

·condition 1： 天平平衡，則可以知道，剩下的一隻爲壞球。

·condition 2： 天平傾斜，則可以根據重量判定壞球。

此時定理成立。

假設n=k時也成立，即，可以通過k次稱量判定3^k 個球的中的壞球。

則當n=k+1時，有3^K+1只球，分成相等的3份，每份3^K只球，可以通過一次稱量判定壞球在那一份中，在3^K個球里根據假設可只通過K次可以確定壞球，如此共K+1次。所以當n=k+1時定理依然成立。

由數學歸納法，可得定理成立。

證明完畢。

引理二：藉助與另外3^n-1只好球的幫住，可以用不帶砝碼的天平稱n次，可從（3ⁿ+1）/2只不知道壞球球的輕重的稱量球中找到壞球（其中n>=1,n爲自然數）。

證明：（略）

（Hint ：(3ⁿ+1)/2=3^n-1+(3^n-1+1)/2）

引理三：不帶砝碼的天平左右兩端分別放3ⁿ-1/2個球（所有這些球，可能是稱量球，也可能都是好球），發生傾斜，則藉助於另外的3^n-1直好球的幫助，再稱n次，就可以從着2×（3ⁿ-1）2只不知壞球輕重的球中找到壞球（其中n>=1, n爲自然數）。

證明：（略）

（Hint：3ⁿ-1/2=3^n-1-1/2+3^n-1）

如下證明定理：

證明：共有3ⁿ-1/2=2×（3^n-1-1）/2+（3^n-1+1）/2只不知壞球輕重的稱量球（其中n>=2,n爲自然數），天平左右分別放（3^n-1-1）/2只球。如果發生傾斜，則天平上的2×（3^n-1-1）/2只球中有壞球，有引理三，此時藉助另外的3^n-2只好球的幫助，再稱n-1次，就可以從這2×（3^n-1-1）/2只不只壞球輕重的球中找到壞球，而3^n-1+1/2>3^n-2顯然可證（其中n>= 2，n爲自然數）。如果天平平衡，則剩下的3^n-1+1/2.只球是稱量球，有引理二，此時藉助另外3n-2只好球的幫助，再稱n-1次就可以，從這3^n-1+1/2只稱量球中找到壞球，而2×（3^n-1-1）/2>3^n-2顯然可證（其中n>= 2，n爲自然數）。

證明完畢。