2019E1_H 妙妙趣排序

妙妙趣排序

題目

本題中：

一個即將排好序的序列定義爲：將這個序列去除至多一個值後，新序列是嚴格遞增的。

一個過濾器[u,v]定義爲：一個序列a經過過濾器[u,v]後，$a_{u}=min(a_{u},a_{v}),a_{v}=max(a_{u},a_{v})$，其他值不變。

妙妙趣排序器由k個過濾器組成，一個序列的妙妙趣排序需要依次經過排序器的k個過濾器。

那麼請問，1~n的全排列中，有幾個序列經過給定的妙妙趣排序後可以變成即將排好序的序列。

輸入

第一行一個正整數t表示數據組數 $(0<t<100)$

接下來 t 組數據

每組數據第一行兩個整數 $n,k (2≤n≤50,0≤k≤10)$

每組數據接下來k行，每行兩個整數$u,v$，表示一個過濾器 $(1≤u<v≤n)$

輸出

每組數據輸出一行，一個整數

輸入樣例

4
4 0
4 1
1 2
4 3
1 2
2 3
1 2
4 6
1 2
2 3
1 2
3 4
2 3
1 2

輸出樣例

10
14
24
24

思路

首先考慮一點，任意一個排列，如果排序後可以變成即將排好序的序列，那麼他一定對應一個且僅一個即將排好序的序列。多個排列可能對應一個即將排好序的序列。也就是說，這是一個類似於函數多對一的關係。

那麼，我們來枚舉所有即將排好序的序列，反推其原始排列，這些原始排列一定不會重複。

所以，枚舉+dfs即可。注意dfs過程中剪枝驗證合法性、

枚舉所有即將排好序的序列可以在 $O(n^{2})$ 內完成，dfs的複雜度大概爲 $O(2^{k})$

代碼

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int ms = 50 + 10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int t, n, k;
pair<int, int> opt[ms];
int ans;
void dfs(int x, vector<int>& to)
{
    if (x == 0)
    {
        ans++;
        return;
    }
    int u = opt[x].first - 1, v = opt[x].second - 1;
    if (to[u] > to[v])return;
    dfs(x - 1, to);
    swap(to[u], to[v]);
    dfs(x - 1, to);
    swap(to[u], to[v]);
}
int main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        ans = 0;
        scanf("%d%d", &n, &k);
        for (int i = 1; i <= k; ++i)
        {
            scanf("%d%d", &opt[i].first, &opt[i].second);
        }
        vector<int> to(n, 0);
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < n; ++j)
            {
                to[j] = j + 1;
            }
            for (int j = i; j > 0; --j)
            {
                swap(to[j], to[j - 1]);
                if (i >= 1 && j == i) continue;
                dfs(k, to);
            }
            for (int j = 0; j < i; ++j)
            {
                swap(to[j], to[j + 1]);
            }
            for (int j = i; j < n - 1; ++j)
            {
                swap(to[j], to[j + 1]);
                dfs(k, to);
            }
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j)
        {
            to[j] = j + 1;
        }
        dfs(k, to);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}